Espaços vetoriais Euclidianos

Componentes:
Carlos Augusto
Ewerton F. Monteiro
Geraldo Deniro
Raphael F. Rabello
Yuri S. Camargo

ESPAÇOS VETORIAIS
EUCLIDIANOS

ÍNDICE
Introdução
 Produto Interno
 Módulo
 Ortogonalidade
 Bases Ortoganais
 Bases Ortonormais
 Aplicações
 Exercícios


Espaço euclidiano é um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno.
Por volta de 300 a.C., o matemático grego Euclides estabeleceu as leis do que veio a ser chamado “Geometria euclidiana”, que é o estudo das relações entre ângulos e distâncias no espaço. Euclides desenvolveu primeiramente “a geometria plana” que trata da geometria de objetos bidimensionais em uma superfície plana. Ele então desenvolveu a
“geometria sólida”, com que analisou a geometria de objetos tridimensionais. Todos os axiomas de Euclides foram codificados em um espaço matemático abstrato conhecido como espaço euclidiano bi ou tridimensional. Estes espaços matemáticos podem ser estendidos a qualquer dimensão, e tal espaço é chamado espaço euclidiano ndimensional ou um n-espaço. Este artigo se refere a tais espaços matemáticos. Para desenvolver esses espaços euclidianos de dimensões mais elevadas, as propriedades dos espaços euclidianos conhecidos devem ser expressas e então estendidas a uma dimensão arbitrária. Embora a matemática resultante seja um tanto abstrata, ela captura a natureza essencial dos espaços euclidianos com que todos nós estamos familiarizados.
Uma propriedade essencial de um espaço euclidiano é sua planitude. Existem outros espaços que não são euclidianos. Por exemplo, o espaço-tempo quadridimensional descrito pela teoria da relatividade quando a gravidade está presente não é euclidiano.

O produto interno ou escalar de dois vetores u e v em R2 ou R3 foi definido pela expressão: A.B = |A||B| cos θ

Esta expressão pressupõe que se pode medir o comprimento dos vetores e a amplitude do ângulo por eles formado. Quando a dimensão aumenta e