Algebra Linear

ESPAÇOS VETORAIS EUCLIDIANOS
Definição
Espaço Vetorial Euclidiano é todo o espaço vetorial real, de dimensão finita, no qual está definido um produto interno. Chama-se produto interno no espaço vetorial V uma função de VV em R, que a todo par de vetores associa um número real, indicado por ou , tal que os seguintes axiomas sejam verificados:
P1: ;
P2: ;
P3: ;
P4: . O conceito de vetor nesse espaço possui uma motivação física com uma intuição muito grande. Em várias aplicações aparecem certas grandezas tais como temperatura e pressão que possuem somente magnitude. Estas podem ser representadas por números reais e são chamadas grandezas escalares. Por outro lado, também há grandezas, denominadas grandezas vetoriais, como força e velocidade, que possuem magnitude e direção, de maneira que é extremamente conveniente encontrar uma forma para representá-las. O vetor é o objeto matemático que expressa essas grandezas.
Módulo de um vetor Dado um vetor de um espaço vetorial euclidiano V, chama-se módulo, norma ou comprimento de o número real não-negativo, indicado por , definido por:

Observe que se for um vetor do com produto interno usual, tem-se:

Distância entre dois vetores Chama-se distância entre vetores (ou pontos) e o número real representado por e definido por:

Sendo e vetores do , com produto interno usual, tem-se:

Ou

Ângulo de dois vetores Sejam e vetores não-nulos de um espaço vetorial euclidiano V. A desigualdade de Schwartz , pode ser escrita como: ou O que implica:

Por esse motivo, pode-se dizer que essa fração é o co-seno de um ângulo , denominado ângulo dos vetores e :

Vetores Ortogonais Seja V um espaço vetorial Euclidiano. Diz-se que dois vetores e de V são ortogonais, e se representa por , se, e somente se, .
Exemplo: seja um espaço vetorial euclidiano em relação ao produto interno . Em relação a este produto interno, os vetores e são ortogonais, pois:
.
Obs.:
1) O