resumo atps calculo numerico

Espaço Vetorial

Seja E um conjunto e seja K um corpo. Suponhamos que em E esteja definida uma operação de adição:

e que esteja definida uma operação entre os elementos de K e os elementos de E (chamada multiplicação por escalar):

Então E é um K-espaço vetorial, em relação a essas operações, se as seguintes condições estiverem satisfeitas:

Na definição acima, não se especifica nem a natureza dos vetores nem das operações. Assim qualquer conjunto que satisfaça as oito condições acima especificada será um espaço vetorial.

Mudança de Base

Estudaremos inicialmente mudança de base em um espaço vetorial bi-dimensional, e a seguir, em um espaço de dimensão n.

Espaço Vetorial Euclidiano

Aqui podemos definir importantes noções de produto escalar e de ortogonalidade, visando introduzir, entre outras coisas o conceito de comprimento e distância.

Produto Escalar

Seja E um espaço vetorial real. Sejam x, y elementos de E.

Chama-se produto escalar (ou produto interno) de x por y, em símbolo, (x, y), qualquer função definida em E × E com valores em IR satisfazendo as seguintes propriedades:

Um espaço vetorial real E, onde está definido um produto escalar é chamado espaço euclidiano real.

Ortogonalidade

Seja E um espaço euclidiano real. Sejam x, y elementos de E

Dizemos que x é ortogonal a y, em símbolo, x _l_ y, se e somente se (x, y) = 0.

(x, 0) = (0, x) = 0 qualquer que seja x, onde 0 é o vetor nulo.

No espaço verificar se sen x e cos x são ortogonais. Assim, sen x e cos x são ortogonais em E.

Espaço Vetorial Normado

Vamos definir agora importantes definições de norma de vetor e de matriz. Com isso estaremos aptos a definir, quando oportuno, as noções de limite de uma seqüência de vetores ou de matrizes, de grande utilidade, entre outros, no estudo de convergência de métodos iterativos de solução de sistemas lineares e do problema de erros de arredondamento nos processos