Transformação linear

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

Álgebra Linear

Aula
Transformações lineares

hlcs

Resumo
•Transformações lineares
•Definição
•Núcleo
•Imagem

Transformações Lineares
•Definição
•Relação entre espaços vetoriais
•Preservação de operações*
•Aplicação linear ou Mapa linear

Transformações Lineares
•Definição
•Uma transformação T de um espaço vetorial E em um espaço vetorial F será denotada por

T: E v F
T(v)

Onde u ϵ E, v ϵ E; T(u) ϵ F, T(v) ϵ F.
i) T(u + w) = T(u)+ T(w) ii) T(.u) = λ.T(u), λ ϵ R

Transformações Lineares
•Exemplo 1
Seja M2x2 o espaço vetorial da matrizes de ordem 2 x2 a valores reais, e F o espaço vetorial euclidiano R4. Seja a transformação : T: M2x2
R4
a 

a b   b 
T (
)   c 
c d 

d 

Verifique que ela é uma transformação linear

Transformações Lineares
•Exemplo 2
Seja M2x2 o espaço vetorial da matrizes de ordem 2 x2 a valores reais, e F o espaço euclidiano R, formado pela determinante de qualquer matriz de M2x2.
Seja a transformação : T: M2x2
F
T ( A)  det( A)

A pertence a M2x2

Verifique que ela é não é transformação linear

Transformações Lineares
•Propriedades importantes
• Considere A e B duas transformações lineares :
• Então A+B é outra transformação linear.
• λ A é outra transformação linear.
•Definição: Seja T: E
E
v
T(v), então T é chamado de operador linear.
Exemplo: I: E
E
v
I(v)=v; I é operador identidade.

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•Exemplo: Seja n, m dois espaços euclidianos
Arbitrários.
A função T: n  m é dita uma transformação linear se satisfizer as seguintes condições:
i) T(v + w) = T(v)+ T(w) ii) T(.v) = .T(v),  ϵ 
Onde v=(v1,v2,..., vn); w=(w1,w2,..., wn) e T(v)=z=(z1,z2,..., zm); T(w)=(y1,y2,.., ym)

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•Exemplos
•T: 2  2 (operador dilatação |k|>0, contração