Transformação linear

Álgebra Linear Transformações Lineares
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Transformações Lineares
• Funções lineares descrevem o tipo mais simples de dependência entre variáveis • Muitos problemas podem ser representados por tais funções • Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação linear é uma função de V em W, F: V → W que satisfaz as condições:
i) Quaisquer que sejam u e v em V: F(u+v)=F(u)+F(v) ii) Quaisquer que sejam k∈R e v∈V: F(k.v) = k.F(v)
• Princípio da Superposição
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• Exemplo 1: • V=ReW=R • F: R → R definida por u → α.u ou F(u) = α.u • Solução:
F(u + v) = α.(u + v) = α.u + α.v = F(u) + F(v) F(k.u) = α.k.u = k.α.u = k.F(u) Logo, F é linear!

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• Exemplo 2: • F: R → R definida por u → u2 ou F(u) = u2 • Solução:
F(u + v) = (u + v)2 = u2 + 2.u.v + v2 ≠ u2+v2 = F(u)+F(v) Logo, F não é linear!

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• • • • Exemplo 3: F: R2 → R3 (x,y) → (2x, 0, x + y) ou F(x, y) = (2x, 0, x + y) Solução:
Dados u e v ∈ R2, sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2), xi,yi∈R F(u+v)=F((x1,y1) + (x2,y2)) = F(x1 + x2, y1 + y2) = = (2x1 + 2x2, 0, x1 + x2 + y1 + y2) = (2x1, 0, x1 + y1) + (2x2, 0, x2 + y2) = F(u) + F(v) F(k.u)=F(k.(x1, y1))=F(k.x1, k.y1) = (2k.x1, 0, k.x1+k.y1) = = k(2x1, 0, x1 + y1) = k.F(u) Logo, F é linear!
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• OBS 1: Da definição de transformação linear, temos que a transformação do vetor nulo leva ao mesmo vetor nulo: T(0) = 0 • Isso ajuda a detectar transformações não lineares: se T(0)≠0, implica uma transformação não linear • No entanto, T(0) = 0 não é condição suficiente para que T seja linear (ex.: