Ortogonal E Ortonormal

aplica¸co˜es lineares e matrizes, determinantes, o Teorema da Decomposi¸ca˜o Prim´aria e a Forma Canˆonica de Jordan, espa¸cos euclidianos, formas quadr´aticas, o Teorema Espectral para operadores normais (e, com isso, operadores unit´arios e ortogonais) e, finalmente, o Teorema de Valores Singulares. Fa¸co alguns coment´arios sobre os cap´ıtulos desse texto. Observo que, apesar de todas as ´ no¸co˜es b´asicas da Algebra Linear serem apresentadas, alguns cap´ıtulos foram escritos…

_Toc34726793 h 33 11. PRODUTO INTERNO PAGEREF _Toc34726794 h 34 11.2. INTRODUO PAGEREF _Toc34726795 h 34 11.2. RESPOSTAS PAGEREF _Toc34726796 h 35 12. ORTOGONALIDADE PAGEREF _Toc34726797 h 36 12.1. VETORES ORTOGONAIS PAGEREF _Toc34726798 h 36 12.2. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL PAGEREF _Toc34726799 h 36 12.3. PROCESSO DE ORTOGONALIZAO DE GRAM-SCHMIDT PAGEREF _Toc34726800 h 37 12.4. RESPOSTAS PAGEREF _Toc34726801 h 37 13. TRANSFORMAES LINEARES PAGEREF _Toc34726802 h…

um Vetor sobre um Subespaço. Complemento Ortogonal Exercícios Respostas Apêndice D – Teoremas 76 76 76 77 77 77 80 81 83 84 AUTOVALORES E AUTOVETORES Definição Cálculo de Autovalores, Autovetores e Autoespaços Multiplicidade de Autovalores Diagonalização de Operadores Lineares Exercícios Respostas Apêndice E – Teoremas 86 86 87 88 89 90 90 ESPAÇOS VETORIAS COM PRODUTO INTERNO E OPERADORES LINEARES Operador Adjunto Operador Auto-Adjunto Operador Ortogonal Operador Normal Exercícios…

2.1.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.1.5 Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . 2.2 Bases Ortonormais e Subespacos Ortogonais . ¸ 2.2.1 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . ˆ 2.2.2 Aplicacao: Polinomios de Legendre . . ¸˜ 2.2.3 Complemento Ortogonal . . . . . . . . 2.2.4 Distˆ ncia de um Ponto a um Subespaco a ¸ ˜ o: S´ ries de Fourier . . . . . . . …

. . . 2.1.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.1.5 Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . 2.2 Bases Ortonormais e Subespacos Ortogonais . ¸ 2.2.1 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . ˆ 2.2.2 Aplicacao: Polinomios de Legendre . . ¸˜ 2.2.3 Complemento Ortogonal . . . . . . . . 2.2.4 Distˆ ncia de um Ponto a um Subespaco a ¸ ˜ o: S´ ries de Fourier . . . . . . . 2.2.5…

A ´ a inversa de A−1 , ou seja (A−1 ) e −1 = A. Quando existe a matriz A−1 , dizemos que A ´ uma matriz invers´ e ıvel (ou uma matriz n˜o singular) e que A−1 ´ a inversa de A. a e Uma matriz invers´ A tal que A−1 = At ´ chamada de matriz ortogonal. ıvel e 1.2.5 O Tra¸o de uma Matriz Quadrada c Seja A uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos pertencem a um corpo K. O tra¸o de A, denotado por tr A ´, por defini¸˜o, a soma dos elementos da diagonal c e ca principal de A. Assim,

. . . . . . . . 2.1.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.1.5 Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . 2.2 Bases Ortonormais e Subespacos Ortogonais ¸ 2.2.1 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . ˆ 2.2.2 Aplicacao: Polinomios de Legendre . . ¸˜ 2.2.3 Complemento Ortogonal . . . . . . . . ˆ 2.2.4 Distancia de um Ponto a um Subespaco ¸ ´ 2.2.5 Aplicacao: Series de Fourier . . . . . . ¸˜ . . .

94 4.2 Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espa¸o, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por c u × v (ou u ∧ v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes, precisamos introduzir o conceito de orienta¸˜o no espa¸o. ca c 4.2.1 Orienta¸˜o geom´trica ca e Orienta¸˜o sobre uma reta r ca ca Dada uma reta r em que fixamos arbitrariamente um ponto O, temos uma no¸˜o imediata de orienta¸˜o da reta a partir da escolha de uma das…

94 4.2 Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espa¸co, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por u × v (ou u ∧ v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes, precisamos introduzir o conceito de orienta¸c˜ ao no espa¸co. 4.2.1 Orienta¸c˜ ao geom´ etrica Orienta¸ c˜ ao sobre uma reta r Dada uma reta r em que fixamos arbitrariamente um ponto O, temos uma no¸c˜ao imediata de orienta¸c˜ao da reta a partir da escolha…

. . . 2.1.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Proje¸˜o Ortogonal . . . . . . . . . . . ca 2.1.5 Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . 2.2 Bases Ortonormais e Subespa¸os Ortogonais . . c 2.2.1 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Aplica¸˜o: Polinˆmios de Legendre . . . ca o 2.2.3 Complemento Ortogonal . . . . . . . . . 2.2.4 Distˆncia de um Ponto a um Subespa¸o a c 2.2.5 Aplica¸˜o: S´ries de Fourier . . . . . . . ca e