Ortogonal E Ortonormal

B CD C s Vetores Não paralelos (r // s) AB // CD Vetores Sentido r AB t B F A s EF E C CD D AB e EF mesmo sentido AB e CD sentido oposto Vetores Ortogonais (r e s perpendiculares) AB ⊥ CD s D CD AB ⊡ A B r Vetores Não ortogonais (r, s não perpendiculares) AB ⊥ CD s D CD AB A B r Vetores Exemplos: 1. Observando o paralelogramo ABCD, determinar os vetores que são iguais. D A C B Vetores

(3, 3, 0) e = (2, 1, -2) c) = (-1, 1, 1) e = (1, 1, 1) e nos casos: 4. Ache x de modo que e sejam ortogonais: a) = (x, 0, 3) e = (1, x, 3) b) = (x, x, 4) e = (4, x, 1) c) = (x+1, 1, 2) e = (x, -3, 1) 5. Ache tal que || || = 3 e é ortogonal a = (2, -3, 1) e a = (2, -4, 6). Dos “ ” encontrados, qual o que forma o ângulo agudo com o vetor (1, 0, 0)? 6. Ache ortogonal a 7. Calcule ||2 + 4 entre e é = (4, -1, 5) e a = (1, -2, 3), e que satisfaz . (1, 1, 1) =

Aula 9 – Produto vetorial, produto misto e volume do paralelep´ıpedo Objetivos • Definir o produto misto de trˆes vetores no espa¸co a partir do c´alculo de volumes de paralelep´ıpedos. • Exprimir o produto vetorial em termos de um referencial ortonormal e estabelecer sua propriedade distributiva. • Estabelecer um dispositivo pr´atico para o c´alculo do produto vetorial de dois vetores no espa¸co e aplic´a-lo em alguns exemplos simples. • Exprimir o produto misto em termos de coordenadas usando

Ortogonalidade 7.1 Introdução 7.2 Espaços com produto interno 7.3 Exemplos de espaços com produto interno 7.4 Desigualdade de Cauchy-Schwarz, aplicações 7.5 Ortogo- 234 8 SUMÁRIO nalidade 7.6 Conjuntos ortogonais e bases 7.7 Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt 7.8 Matrizes ortogonais e positivas 7.9 Espaços complexos com produto interno 7.10 Espaços vetoriais normados (opcional) CAPÍTULO 8 Determinantes 272 8.1 Introdução 8.2 Determinantes de ordens 1 e 2 8.3…

4 v6 . v7 = (, 1, 1) . (2, 4, 0) = .2 + 1 . 4 + 1. 0 = 2+4 v6. v8 = (, 1, 1) . (-1, -1, 1) = .(-1) + 1 . (-1) + 1 . 1 = - v7 . v8 = (2, 4, 0) . (-1, -1, 1) = 2.(-1) + 4.(-1) + 0 . 1 = -2 – 4 = -6. b) “Dizemos que dois vetores u e v de V são ortogonais se, e somente se, .” Basta verificarmos os pares de vetores cujo produto interno é igual a 0. Temos, então, os seguintes pares: v1 e v4; v3 e v6; v4 e v8; v5 e v7; c) Para identificarmos os vetores unitários, basta verificarmos…

subespa¸o Z gerado pelos vetores (1, 2, −1, 3), (3, 0, 1, −2), (1, −4, 3, −8) e (5, −8, 7, −18). c a) Z ´ subespa¸o de qual espa¸o Euclidiano? e c c b) Encontre uma base para Z. c) Qual ´ a dimens˜o de Z? e a d) Encontre uma base ortonormal para Z. 4. Encontre uma base ortonormal B para o subespa¸o W de R5 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 1, 0, 1), c v2 = (1, 0, 0, −1, 1), v3 = (3, 1, 1, −2, 3) e v4 = (0, 2, 1, 1, −1). Qual ´ a dimens˜o de W? e a 5. Os vetores (1, 1, 0, −1), (1, 2, 1,…

subespa¸co Z gerado pelos vetores (1, 2, −1, 3), (3, 0, 1, −2), (1, −4, 3, −8) e (5, −8, 7, −18). a) Z ´e subespa¸co de qual espa¸co Euclidiano? b) Encontre uma base para Z. c) Qual ´e a dimens˜ ao de Z? d) Encontre uma base ortonormal para Z. 4. Encontre uma base ortonormal B para o subespa¸co W de R5 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 1, 0, 1), v2 = (1, 0, 0, −1, 1), v3 = (3, 1, 1, −2, 3) e v4 = (0, 2, 1, 1, −1). Qual ´e a dimens˜ao de W? 5. Os vetores (1, 1, 0, −1), (1, 2, 1, 3), (1, 1, −9, 2),

A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!): é Transformações lineares 18 Proposição Seja V um espaço vetorial sobre K, com produto interno. Seja ortonormal de V. Então Corolário onde Seja V um espaço vetorial sobre K, com produto interno. Então, para qualquer base ortonormal de V, temos que a matriz Operadores especiais • Auto-adjunto ( ) • Unitário ( • Normal ( ) ) Operador auto-adjunto Definição é chamado de auto-adjunto se Uma matriz A é…

continuadas na obtenção de suas fórmulas. Em 1826, Jacobi derivou novamente as fórmulas gaussianas, agora utilizando polinômios ortogonais. O tratamento sistemático de funções-peso arbitrárias W(x) usando os polinômios ortogonais, da forma como hoje são usualmente empregadas as fórmulas gaussianas, é devido em grande parte a Christoffel, em 1877. O conceito de polinômios ortogonais frente a uma função-peso W(x) no intervalo (a, b) se deve à definição de ortogonalidade de duas funções…

r dependente se u , v e w são paralelos a um r r r mesmo plano. Caso contrário, (u , v , w) é linearmente independente. y1 y2 y3 x3 z1 = 0 → LD z2 ⇒ ≠ 0 → LI z3 Base Ortonormal Uma r r r (e1 , e2 , e3 ) é r r r ortonormal se e1 , e2 , e3 são unitários e dois a dois ortogonais. Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 base 1 PRODUTO ESCALAR (PRODUTO INTERNO) PRODUTO VETORIAL (PRODUTO EXTERNO) r r Sendo u = (u1 , u…