GA Espacial Aula 09 1

Produto vetorial, produto misto e volume do paralelep´ıpedo

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MODULO
2 - AULA 9

Aula 9 – Produto vetorial, produto misto e volume do paralelep´ıpedo
Objetivos
• Definir o produto misto de trˆes vetores no espa¸co a partir do c´alculo de volumes de paralelep´ıpedos.
• Exprimir o produto vetorial em termos de um referencial ortonormal e estabelecer sua propriedade distributiva.
• Estabelecer um dispositivo pr´atico para o c´alculo do produto vetorial de dois vetores no espa¸co e aplic´a-lo em alguns exemplos simples.
• Exprimir o produto misto em termos de coordenadas usando determinantes de tamanho 3 × 3.
Nesta aula, vamos definir um novo produto que a trˆes vetores no espa¸co associa um n´ umero real. Para isso, vamos adotar a vis˜ao geom´etrica abordada na Aula 8.
Daqui em diante, fixamos um referencial ortonormal positivo
−
→ −
→
e→
C = {O; −
1 , e2 , e3 }.
Consideremos quatro pontos n˜ao-coplanares
O, A, B e C no espa¸co. Ent˜ao, os segmentos
OA, OB e OC s˜ao trˆes arestas adjacentes de um paralelep´ıpedo P como o da Figura 9.1.
Vamos resolver o problema de determinar o volume do paralelep´ıpedo P.

Para isso, lembramos que o volume do paralelep´ıpedo P se obt´em multiplicando a
´area de uma das suas faces (tomada como Figura 9.1: Paralelep´ıpedo P. base de P) pela altura de P em rela¸c˜ao a essa face. Se D ´e o v´ertice oposto a O na face que cont´em O, A e B e tomando como base de P o paralelogramo OADB, temos:
´
Volume(P) = Area(OADB)
· h, onde h ´e a altura de P em rela¸c˜ao `a face OADB.

Sabemos, da Aula 8, que a ´area do paralelogramo OADB ´e
−−→ −−→
´
Area(OADB)
= OA × OB .
CEDERJ

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Produto vetorial, produto misto e volume do paralelep´ıpedo

Contudo, a altura h pode ser calculada de v´arias maneiras diferentes, por exemplo (veja a Figura 9.1 acima):
A. Seja ΠOAB o plano que cont´em os pontos O, A e B. Seja Co a proje¸c˜ao ortogonal do ponto C sobre ΠOAB . Ent˜ao h = d(C, Co).
B. Seja a reta perpendicular a ΠOAB que passa por O, e seja C a