Quadratura Gaussiana

Quadratura gaussiana
Nesta seção, serão introduzidas fórmulas de quadratura nas quais não somente os pesos {wi} poderão ser escolhidos, mas também as abcissas {xi} serão determinadas de tal forma que a quadratura resultante será superacurada. Uma vez que as abcissas não serão mais regularmente espaçadas, as fórmulas obtidas terão o dobro de graus de liberdade que as fórmulas de Newton-Cotes possuem, resultando em fórmulas de quadratura de ordem essencialmente duas vezes maior que as fórmulas de Newton-Cotes, com o mesmo número de cálculos do integrando.
Esta ideia foi inicialmente introduzida por Wilhelm Gauss (1814), portanto cerca de um século após a introdução das fórmulas de Newton-Cotes. Por esta razão, estas fórmulas são conhecidas como Fórmulas gaussianas ou Quadratura gaussiana. Na sua formulação original, Gauss utilizou frações continuadas na obtenção de suas fórmulas. Em 1826, Jacobi derivou novamente as fórmulas gaussianas, agora utilizando polinômios ortogonais. O tratamento sistemático de funções-peso arbitrárias W(x) usando os polinômios ortogonais, da forma como hoje são usualmente empregadas as fórmulas gaussianas, é devido em grande parte a Christoffel, em 1877. O conceito de polinômios ortogonais frente a uma função-peso W(x) no intervalo (a, b) se deve à definição de ortogonalidade de duas funções reais f(x) e g(x), pertencentes ao espaço vetorial das funções contínuas por partes em (a, b) frente a uma função peso W(x). Uma condição suficiente para que f e g sejam ortogonais é que o seu produto interno seja nulo:

Adicionalmente, se o produto interno , definido como a norma de f(x), for unitário, então f(x) é dita normalizada. Um conjunto de vetores {fi(x)}, i = 0, 1, 2, . . . , simultaneamente ortogonais entre si e individualmente normalizados é denominado de conjunto ortonormal.
A idéia básica consiste em escrever a fórmula geral de quadratura da seguinte maneira:

Onde o integrando é escrito F(x) ≡ W(x)f(x), sendo que W(x) passa a