CN Aula25 26

5 Integra¸c˜ao Num´erica
Professor: Wemerson D. Parreira.
Universidade Cat´ olica de Pelotas
Centro Polit´ ecnico 2012

Wemerson D. Parreira (UCPel)

C´ alculo Num´ erico 2012

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5.2 Quadratura Gaussiana
As f´ ormulas de Newton-Cˆ otes integram polinˆ omios interpoladores e os erros envolvem a (n + 1)-´esima ou (n + 2)-´esima derivadas. Assim, elas s˜ ao exatas para polinˆ omios de grau < n + 1 ou grau < n + 2, respectivamente.
A F´ ormula da Quadratura de Gauss integra exatamente polinˆ omios de grau < 2n + 2.
Como nos M´etodos de Newton-Cˆ otes escrevemos uma integral como b f (x) dx = A0 f (x0 ) + A1 f (x1 ) + · · · + An f (xn )

I= a em que os coeficientes Ai e os pontos xi para i = 0, 1, . . . , n devem ser determinados de modo a obter a melhor precis˜ ao poss´ıvel.
➪ Caracter´ıstica: Parti¸c˜ ao n˜ ao regular.

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5.2 Quadratura Gaussiana
Note que o M´etodo da Quadratura Gaussiana envolve a determina¸c˜ ao de 2n + 2 coeficientes e Ai , para i = 0, 1, . . . , n.
Como temos 2n + 2 parˆ ametros a ajustar, podemos esperar que este m´etodo ajuste exatamente polinˆ omios de graus inferiores a 2n + 1.
➪ Comecemos o desenvolvimento para dois pontos: b I=

f (x) dx = A0 f (x0 ) + A1 f (x1 ) a Sem perda de generalidade, tomemos o intervalo [-1,1]. Note que sempre ´e poss´ıvel passar do intervalo [a, b] → [−1, 1] apartir da transforma¸c˜ ao 
1
1

para t ∈ [−1, 1]
x(t) = 2 (b − a)t + 2 (b + a)

 dx = x (t)dt = 21 (b − a) dt

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5.2 Quadratura Gaussiana
Segue
b

I=

1

f (x) dx =

f (x(t)) x (t) dt =
−1

a

em que F (t) =

1

F (t) dt
−1

1
1
1
(b − a)f
(b − a)t + (b + a)t
2
2
2
1

I=

F (t) dt = A0 F (t0 ) + A1 F (t1 )
−1

em que os parˆ ametros A0 , A1 , t0 e t1 devem ser determinados de modo integral I ser exata para polinˆ omios de graus inferiores a 3.
Sejam F0 (t) = 1, F1 (t) = t, F2 (t) = t2 e F3 (t) = t3 .
Assim qualquer polinˆ