M Todo Dos M Nimos Quadrados Para Ajuste De Curvas

Método dos mínimos quadrados para ajuste de curvas

Definição
O método da aproximação por mínimos quadrados consiste em encontrar o melhor ajuste da função a um conjunto de pontos. Este recurso é alcançado pela diferença entre o valor tabelado e o das aproximações obtidas, minimizando o quadrado das somas das diferenças. Procura-se minimizar o erro resultante do ajuste dos pontos a uma curva.
Diferença com relação aos métodos estudados para ajuste de curvas
No polinômio interpolador era necessário que o ajuste passasse exatamente por cima dos pontos ajustados, as tabelas eram baseadas por métodos físicos experimentais, contendo erros inerentes ao método de medição utilizado. Com o método dos mínimos quadrados encontramos uma função ϕ(x) de certo tipo pré-estabelecido (ex. reta, parábola, senóide) que melhor ajusta um conjunto de ponto ou uma função dada.

Caso discreto e contínuo
Domínio discreto - quando a função f é dada por uma tabela de valores.

O problema do ajuste de curvas no caso em que se tem uma tabela de m pontos com x1, x2, x3 , … , xm [a,b], consiste em: “escolhidas” n funções contínuas g1(x), g2 (x), g3(x), … , gn(x), contínuas em [a,b], obter n constantes a1, a2, a3, …, an tais que a função ϕ(x) = a1 g1(x) + a2 g2 (x)+ a3 g3 (x)+ … + an gn (x) se aproxime ao máximo de f (x).
Este modelo matemático é linear pois os coeficientes que devem ser determinados a1, a2, a3, …, an aparecem linearmente, embora as funções g1(x), g2(x), g3(x), …, gn(x) possam ser funções não lineares de x, como por exemplo, g1(x)= x2, g2(x)= ex, g3(x)= (1+x)2, etc.
Surge então a primeira pergunta: Como escolher as funções contínuas g1(x), g2 (x), g3(x),… , gn (x) ?
Esta escolha pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados (diagrama de dispersão) ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento que forneceu a tabela.
Portanto, dada uma tabela de pontos (x1, f(x1)), (x2,f(x2)), ...., (xn,f(xn)), deve-se, em primeiro lugar colocar estes pontes num gráfico