Cálculo Numérico

Introdução
Integração numérica, também denominada quadratura, possui uma história que se estende desde antes da invenção do cálculo. O fato de integrais de funções elementares não poderem, em geral, ser calculadas analiticamente, ao passo que suas derivadas são facilmente obtidas, serviu de razão para enfatizar esta área da análise numérica já nos séculos XVIII e XIX.
Em contraste com a dificuldade de se calcular analiticamente uma integral, o cálculo numérico pode ser realizado de forma relativamente simples, exatamente ao contrário do que acontece com a derivação. A definição de uma integral de Riemann consiste no limite da soma da área delimitada por regiões retangulares à medida que a largura h dos retângulos vai a zero e o seu número total vai a infinito:

Uma maneira tradicional de medir numericamente a área sob f(x) consiste em traçar o seu gráfico sobre um papel milimetrado e contar o número de quadrados sob a curva. Por esta razão a integração numérica também foi denominada inicialmente de quadratura numérica.
A integral da função f(x) é aproximada numericamente de uma forma equivalente à soma dos quadrados ou retângulos. A maior parte das fórmulas abordadas neste capítulo podem ser colocadas na forma:

(3.1)
Aqui, f(x) é calculada em N pontos situados no intervalo (para fórmulas fechadas, isto é, que envolvem os limites) ou no intervalo (para fórmulas abertas, que não envolvem os limites). Os valores das funções calculados em cada ponto do intervalo, fi = f(xi) são então somados com o intermédio de um peso wi. A quantidade ϵN consiste na estimativa do erro de truncamento do método empregado. Embora os métodos, em geral, somente forneçam o resultado exato para N →∞, alguns deles fornecem o resultado exato para certas classes especiais de funções (como polinômios, por exemplo) para N finito.
Os diferentes algoritmos de integração utilizam distintos conjuntos de pontos e de pesos . Geralmente, a precisão aumenta com N, mas erros de