Método das Quadraturas gaussianas

Ana Carolina Lima Carvalho

Método das Quadraturas Gaussianas

Professor: Thiago Neves
Volta Redonda
26/11/2010

Resumo Na análise numérica, uma regra de quadratura é uma aproximação da integral definida de uma função, que é uma soma dos valores assumidos pela função em um conjunto finito de pontos, denominados pontos de integração. O conceito de integral definida tem diversas aplicações na geometria, com o cálculo de áreas, volumes, comprimento de arcos, na física, com o cálculo de trabalhos, campos magnéticos e em muitas outras áreas. O presente trabalho tem o intuito de aprofundar os conceitos da integral, fazendo uso do método das quadraturas gaussianas.

Introdução

Os vários métodos de integração numérica são muito bem empregados para dados obtidos de forma regular, que na maioria das vezes são valores como medidas de laboratório e valores obtidos de programas de computador que produzem tabelas. Quando existe a liberdade de escolha dos pontos nos quais a função será analisada, é preciso certa atenção, para se conseguir a menor distorção possível na avaliação da mesma. Assim, podemos introduzir o conceito da Integração Gaussiana, chamada assim em homenagem a Johann Carl Friedrich Gauss, grande matemático, astrônomo e físico alemão.

Dedução

Seja a integral da função f(x),no intervalo [a,b], dada por:

(equação 1)

Como o objetivo do método é fornecer resultados exatos para polinômios de ordem até 2n + 1, os pontos de integração não são mais escolhidos, eles seguem um critério bem definido.

A solução verificada por este método é dada por:

(equação 2)

Onde os coeficientes Ai e xi são definidos de acordo com a exatidão pré - estabecida, relacionada com a ordem do polinômio. Com o objetivo de se estabelecer pontos padronizados, inicialmente o intervalo [a,b]