código para quadratura gaussiana

Integração numérica e mínimos quadrados

Otávio da Costa Fernandes
Instituto Militar de Engenharia
Departamento de Engenharia Mecânica
Rio de Janeiro, RJ. Brasil.
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Introdução
Existem casos em que são obtidos valores tabelados, cuja origem cabe a experimentos científicos, não possuindo assim uma função definida que permita a aquisição/simulação de novos dados. Para este tipo de problema faz-se uso de métodos numéricos capazes de permitir a elaboração de funções que forneçam valores aproximados.
A proposta deste trabalho é permitir a análise alguns desses métodos, como: por integração numérica (método do trapézio, método de Simpson e quadratura Gaussiana) e ajuste por Mínimos Quadrados.
No caso de integrações numéricas, serão observados os erros obtidos com base na subdivisão do intervalo de valores. Para o métodos de ajuste, será gerado um polinômio capaz de aproximar os valor obtidos da função fornecida.

Integração Numérica
É sabido do Cálculo Diferencial e Integral que toda função  contínua em um intervalo  possui uma primitiva nesse intervalo, ou seja, existe  tal que . Muitas vezes essa primitiva pode ser difícil de ser expressa por meio de combinações finitas de funções elementares. Para isso, utiliza-se métodos numéricos para obter a integral da função.
A ideia básica da integração numérica é aproximar a curva desejada de funções representativas como polinomiais ou somatório de exponenciais. Para esse trabalho, serão utilizados polinômios do tipo:
 (1)
Nas fórmulas de Newton-Cotes, considera-se um polinômio que se aproxime de f(x) em pontos de um intervalo [a, b] igualmente espaçados em n partes. São fórmulas de integração do tipo:
 (2) em que os coeficientes  são determinados de acordo com o grau do polinômio aproximador.
Entre as fórmulas de Newton-Cotes existem a regra do Trapézio e a regra 1/3 de Simpson.
A regra do Trapézio utiliza a fórmula de Lagrange para determinar um polinômio