Geometria analítica

DEPENDÊNCIA LINEAR

Linearmente Dependente (LD)

Combinação Linear

r r r Uma seqüência (v1 , v 2 , ... , v n ) , com n ≥ 2 é LD se, e somente se, algum vetor da seqüência é gerado pelos demais. r r r r r
Se u = α 1v1 + α 2 v 2 + ... + α n v n dizemos que u é r r r r combinação linear de v1 , v 2 ... v n , ou que u é r r r gerado por v1 , v 2 ... v n . Os escalares α 1 , α 2 ... α n são chamados de coeficientes da combinação linear.

O conceito de dependência linear de uma seqüência r r r (v1 , v2 , ... , vn ) será definido caso a caso, conforme o valor de n. seqüência r
(v )

r r dependente se v = 0 r r independente se v ≠ 0 .

r r r Uma seqüência (v1 , v 2 , ... , v n ) , em que 1 ≤ n ≤ 3 , LI se, e somente se, a equação r r r α 1v 1 +α 2 v 2 + ... + α n v n = 0 admite apenas a solução nula: α 1 = α 2 = ...α n = 0

Dependência Linear

(a) Uma

Linearmente Independente (LI)

é

linearmente

e

BASE
Uma tripla ordenada linearmente r r r
E = (e1 , e2 , e3 ) chama-se base de V 3 .

independente

linearmente

r r
(b) Um par ordenado (u , v ) é linearmente r r dependente se u e v são paralelos r r r r
( u = λv ). Caso contrário,
(u , v ) é linearmente independente.

r r
Tome nota: Verifique se u e v são LI ou LD. r r r r
Se os vetores u e v forem paralelos, (u , v ) é LD. r r
Caso contrário, (u , v ) é LI. r Tome nota: Verifique se x = (x1 , x 2 , x3 ) , r r y = ( y1 , y 2 , y 3 ) e z = ( z1 , z 2 , z 3 ) são LI ou LD.

x1
Se x 2

r r r
(c) Uma tripla ordenada (u , v , w) é linearmente r r r dependente se u , v e w são paralelos a um r r r mesmo plano. Caso contrário, (u , v , w) é linearmente independente.

y1 y2 y3

x3

z1

= 0 → LD z2 ⇒
≠ 0 → LI z3 Base Ortonormal

Uma

r r r
(e1 , e2 , e3 )

é r r r ortonormal se e1 , e2 , e3 são unitários e dois a dois ortogonais. Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE