Ortogonal E Ortonormal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.2 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Projecoes ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.2.2 Propriedades do produto interno . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Produto interno em coordenadas . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Bases ortogonais e ortonormais . . . . . . . . . . . . . 2.3 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Propriedades do produto vetorial . .

conjunto de n vetores ortonormais (ortogonaias dois a dois e unit´rios), a 3 chamados vetores diretores; n = 2, no plano, e n = 3, no espa¸o (tridimensional). As c coordenadas de um ponto P s˜o determinadas pela rela¸˜o a ca OP = xU1 + yU2 , OP = xU1 + yU2 + zU3 , no plano no espa¸o c O ´ a origem, {U1 , U2 }, {U1 , U2 , U3 } s˜o os vetores diretores. e a c˜ ´ Observa¸˜o: a rela¸ao acima determina as coordenadas de maneira unica. De fato, ca como os vetores s˜o ortonormais,…

2.1.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.1.5 Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . 2.2 Bases Ortonormais e Subespacos Ortogonais . ¸ 2.2.1 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . ˆ 2.2.2 Aplicacao: Polinomios de Legendre . . ¸˜ 2.2.3 Complemento Ortogonal . . . . . . . . 2.2.4 Distˆ ncia de um Ponto a um Subespaco a ¸ ˜ o: S´ ries de Fourier . . . . . . . …

2.1.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.1.5 Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . 2.2 Bases Ortonormais e Subespacos Ortogonais . ¸ 2.2.1 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . ˆ 2.2.2 Aplicacao: Polinomios de Legendre . . ¸˜ 2.2.3 Complemento Ortogonal . . . . . . . . 2.2.4 Distˆ ncia de um Ponto a um Subespaco a ¸ ˜ o: S´ ries de Fourier . . . . . . . …

2.1.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.1.5 Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . 2.2 Bases Ortonormais e Subespacos Ortogonais . ¸ 2.2.1 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . ˆ 2.2.2 Aplicacao: Polinomios de Legendre . . ¸˜ 2.2.3 Complemento Ortogonal . . . . . . . . 2.2.4 Distˆ ncia de um Ponto a um Subespaco a ¸ ˜ o: S´ ries de Fourier . . . . . . . …

e3 →=→+→ − g2 − − e1 e2 →=e − g 3 1 base envolvendo E , F e G. −− 29. Determine x de modo que → e → sejam ortogonais. u v − − a) → = (x, 0, 3), → = (1, x, 3) u v → = (x + 1, 1, 2), → = (x − 1, −1, −2) − − b) u v 3 − − c) → = (x, x, 4), → = (4, x, 1) u v → = (x, −1, 4), → = (x, −3, 1) − − d) u v √ − − 30. Obtenha → ortogonal a (1, 1, 0) tal que → = 2 e a medida angular u u − em graus entre → e (1, −1, 0) seja 45. u 31. Verdadeiro…

2.1.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Proje¸˜o Ortogonal . . . . . . . . . . . ca 2.1.5 Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . 2.2 Bases Ortonormais e Subespa¸os Ortogonais . . c 2.2.1 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Aplica¸˜o: Polinˆmios de Legendre . . . ca o 2.2.3 Complemento Ortogonal . . . . . . . . . 2.2.4 Distˆncia de um Ponto a um Subespa¸o a c 2.2.5 Aplica¸˜o: S´ries de Fourier . . . . .

2.1.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.1.5 Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . 2.2 Bases Ortonormais e Subespacos Ortogonais . ¸ 2.2.1 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . ˆ 2.2.2 Aplicacao: Polinomios de Legendre . . ¸˜ 2.2.3 Complemento Ortogonal . . . . . . . . 2.2.4 Distˆ ncia de um Ponto a um Subespaco a ¸ ˜ o: S´ ries de Fourier . . . . . . . …

2.1.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.1.5 Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . 2.2 Bases Ortonormais e Subespacos Ortogonais . ¸ 2.2.1 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . ˆ 2.2.2 Aplicacao: Polinomios de Legendre . . ¸˜ 2.2.3 Complemento Ortogonal . . . . . . . . 2.2.4 Distˆ ncia de um Ponto a um Subespaco a ¸ ˜ o: S´ ries de Fourier . . . . . . . …

6 Definição de espaços vetoriais 115 Aula 7 Subespaços vetoriais e dependência linear 131 Aula 8 Base e dimensão 145 Aula 9 Produto Interno 159 Aula 10 Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt 175 Aula 11 Matrizes ortogonais e mudança de base 189 Apresentação Institucional A Secretaria de Educação a Distância – SEDIS da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN, desde 2005, vem atuando como fomentadora, no âmbito local, das…