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MA141 – Geometria Anal´ ıtica e Vetores – 1o Semestre de 2010 Prof. Marcelo Santos

Notas de Aula sobre Identifica¸˜o de Cˆnicas e Qu´dricas ca o a
(v. cap. 7 do livro-texto)

o c˜ a Objetivo principal: Identificar a cˆnica que a equa¸ao quadr´tica (C) ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0

descreve no plano com coordenadas cartesianas (C.C.) xy. Quest˜o similar para a qu´drica a a (Q) ax2 + by 2 + cz 2 + dxy + exz + f yz + gx + hy + iz + j = 0

no espa¸o com C.C. xyz. c Nota¸ao matricial: Sejam c˜ X= x y , A= a b/2 b/2 c e K= d e .

Ent˜o (C) se escreve como a (C) Analogamente, se    x a d/2 e/2 X =  y  , A =  d/2 b f /2  e K = z e/2 f /2 c ent˜o (Q) se escreve como a (Q) X t AX + KX + j = 0.  g h i , X t AX + KX + f = 0.

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De fato, no caso (C), temos X t AX = a b/2 x b/2 c y ax + (b/2)y = x y (b/2)x + cy 2 = ax + bxy + cy 2 x y x y

e KX = d e = dx + ey.

O caso (Q) ´ an´logo e fica como exerc´ (dever de casa/complementar da mat´ria). e a ıcio e e e Observa¸˜es: a) Tanto em (C) como em (Q), a matriz A ´ quadrada sim´trica ([A]ij = co [A]ji ); b) Os produtos matriciais X t AX e KX podem ser identificados, respectivamente, com os produtos internos AX ·X e K ·X (identificando as matrizes colunas AX e X, e a matriz linha K, com vetores); c) (Q) reduz-se a (C) tomando-se z = 0. (A interse¸ao de uma qu´drica com o plano c˜ a z = 0 ´ uma cˆnica.) e o

Caso em que n˜o temos os “termos cruzados” xy, xz e yz a (i.e. b = 0 em (C) e d = e = f = 0 em (Q))
O caso mais simples de an´lise da equa¸˜o (C) ou (Q) ´ caso da ausˆncia dos “termos a ca e e cruzados”, i.e. b = 0 em (C) e d = e = f = 0 em (Q). Notemos que isto significa exatamente que a matriz A (em (C) ou em (Q)) ´ diagonal (todos os elementos fora da e diagonal principal s˜o nulos)! Neste caso, vejamos que podemos identificar o conjunto a descrito por (C) ou (Q) simplesmente por completamento de quadrados e transla¸˜o da ca origem do sistema de coordenadas cartesianas. Para explicar a an´lise,