Ortogonal E Ortonormal

perpendiculares (ortogonais) Vetores mutuamente perpendiculares são linearmente independentes Módulo de um vetor (comprimento): 2 2 2 x = x' x = x1 + x2 + x3 + ... + xn 2 Matrizes e vetores: conceitos básicos Vetores ortonormais: tem módulo 1 e são perpendiculares (ortogonais) y Exemplo: x’= [1 0] e y’= [0 1] x 0  x' y = [1 0]⋅   = 1 ⋅ 0 + 0 ⋅1 = 0 1  2 2 x = 1 + 0 =1 e 2 (ortogonais) 2 y = 0 +1 = 1 Assim, x e y são…

Produto Interno . . . . . . . . 11.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Distˆncia . . . . . . . . . . . . a ˆ 11.4 Angulo . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Ortogonalidade . . . . . . . . . 11.6 Processo de Ortogonaliza¸˜o de ca 11.7 Complemento Ortogonal . . . . 11.8 Isometria . . . . . . . . . . . . 11.9 Operador Auto-adjunto . . . . ´ SUMARIO 69 69 71 72 73 74 78 81 82 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gram-Schmidt . .…

Produto Interno . . . . . . . . 11.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Distˆancia . . . . . . . . . . . . ˆ 11.4 Angulo . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Ortogonalidade . . . . . . . . . 11.6 Processo de Ortogonaliza¸c˜ao de 11.7 Complemento Ortogonal . . . . 11.8 Isometria . . . . . . . . . . . . 11.9 Operador Auto-adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

tomamos as bases ortonormais. Denição 2.10. Uma base {e1, e2} é considerada ortonormal se os seus vetores forem ortogonais (isto é , e1 ⊥ e2 ) e unitários (ou seja, |e1 | = |e2 | = 1). Observação 3. Embora tenhamos denido uma base ortonormal como um conjunto, iremos pensá-la como um conjunto ordenado, 29 Os Espaços Vetoriais isto é, numa base base é β = {e1 , e2 }, e2 . temos que o primeiro elemento da e1 e o segundo, Exemplo 2.2.3. no plano Considere a base ortonormal…

podem ser efetuadas, então ( RORRES ANTON (2001)) : •((A)T )T = A •(A + B)T = AT + B T e (A − B)T = AT − B T •(kA)T onde k é um escalar qualquer •(AB)T = B T AT Definição 1.4. Uma matriz ortogonal é uma matriz quadrada A com a propriedade A = AT .Decorre desta definição que uma matriz quadrada A é ortogonal se, e somente se, AAT = AT A = I. −1 Definição 1.5. Seja T : V −→ V um operador linear. Um vetor v ∈ V, v = 0, é dito autovetor, vetor próprio ou vetor característico do…

é − u . r O vetor nulo pode ser representado por 0 = A − A = AA . Tem-se ainda que r r r 0 = 0 e −0 = 0. r r Se u e v tem mesma direção, dizemos que eles são vetores paralelos e r r indicamos por u // v . r r r Dizemos que u e v são ortogonais, se uma flecha que representa u faz ângulo r r r reto com uma flecha que representa v . Notação u ⊥ v . • • • 4.2 Operações com vetores 4.2.1 Adição r r r r Sejam os vetores u = B − A e v = C − B , então u + v = (B −…

Vetores ortogonais. Dois vetores u e v são ortogonais se podem ser representados por segmento orientados ortogonais. u u +v Denotamos u ⊥ v (lê-se “ u é ortogonal a v ”). Aplicando o teorema de Pitágoras e a sua recíproca, temos: u ⊥ v PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON v ⇔ u +v 2 2 2 = u +v . 15 Observações a. o vetor nulo é ortogonal a todo vetor. b. u ⊥ v e u ⊥ w ⇒ u ⊥ (v + w ) . c. u ⊥ v e k ∈ ℝ ⇒ u ⊥ kv . Base…

ca u a u, u . u = Defini¸˜o 8 Seja E um espa¸o vetorial com produto interno. Dois vetores u, v ∈ E ca c chamam-se ortogonais quando u, v = 0 Teorema 17 Seja E um espa¸o vetorial munido de produto interno ., . . Ent˜o c a temos as seguintes propriedades: (i ) | u, v | ≤ |u||v| (ii ) |u + v| ≤ |u| + |v| (iii ) Todo subconjunto de vetores n˜o-nulos e ortogonais de E ´ tamb´m L.I. a e e 4.2.6 Valores e Vetores Pr´prios o Defini¸˜o 9 Considere uma matriz n × n. Um…

números reais. 2. Vetores Ortogonais Dados dois vetores 𝑢 e 𝑣 , se um dos vetores é nulo, então o produto 𝑢 . 𝑣 é nulo. Todavia, a recíproca não é verdadeira, pois podemos ter, por exemplo, dois vetores 𝑢 = (−1, 1, 3) e 𝑣 = (−1, 5, −2) e então: 𝑢. 𝑣 = 1 + 5 − 6 = 0 Prof. Msc. Arivaldo Carvalho. Página 10 Geometria Analítica e Álgebra Linear Definição: Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são ditos ortogonais se o seu produto escalar é nulo. Denotaremos vetores ortogonais com a notação 𝑢 ⊥ 𝑣

não colineares é chamado base no plano e os números são chamados componentes ou coordenadas de em relação à base { , }. Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais. Uma base é dita ortonormal se os vetores forem ortogonais e unitários. Existem naturalmente infinitas bases ortonormais no plano , porém uma delas é particularmente importante. Trata-se da base formada pelos vetores representados por segmentos orientados com origem em e extremidade nos pontos