Ortogonal E Ortonormal

Por uns sistemas de coordenadas cartesianas ortogonais no espaço, entendemos o par (O,B) onde O é a origem do sistema e B é uma base ortonormal. Frequentemente em problemas de Geometria Analítica somos levados a passar de um sistema de coordenadas ortogonais no espaço Σ = (O,⃗i,⃗j,⃗k) para outro Σ′ =(O,⃗i,⃗j,⃗k) mais conveniente. Sendo B ={⃗i,⃗j,⃗k} e B′ ={⃗i′,⃗j′,⃗k′}, considere Σ = (O,B) e Σ′ = (O,B′) dois sistemas de coordenadas cartesianas ortogonais no espaço. Definição: Por uma translação

vetor de B. (b) Calcule a distˆancia d(v1 , v2 ) = |v1 − v2 | (c) Verifique quais vetores de B, dois a dois, s˜ao ortogonais ou paralelos. (d) Calcule o ˆangulo, dois a dois, formado pelos vetores de B. (e) Determine o subespa¸co [B] ⊆ IR3 . (f) Usando o processo de Gram-Schmidt, determine a partir da base B, uma base ortogonal do IR3 . (g) Determine a partir de B uma base ortonormal do IR3 . ˆ o conjunto formado pelos vetores v1 e v2 de B substituindo(h) Seja B ˆ se o vetor…

Demonstração: Exemplos: VETORES UNITÁRIOS Definição: Um vetor é unitário se tem norma igual a um. u é um vetor unitário de mesma Se u é um vetor não nulo então o vetor e = u direção e sentido que u. Exemplos: i = (1 0 ) e j = ( 0 1) . PROJEÇÃO ORTOGONAL w2 u u-w1 v w1 projvu = VETORES NO n u⋅v v 2 e w2 = u − u⋅v v 2 v NÚMEROS COMPLEXOS O conjunto dos números complexos é representado por . Formalmente, um número complexo é um par ordenado (a, b) de números…

conseqüência que Qualquer base de um espaço vetorial V tem sempre o mesmo número de vetores. Este número é chamado de dimensão de V e denotado por dim V. Base Ortonormal Definição. Diz-se que uma base b = {v1, v2, ..., vn} de um espaço vetorial euclidiano V é base ortonormal se vi . vj = , isto é, b é uma base ortogonal com vetores unitários. Componentes de um Vetor Teorema. Fixada uma base b = {v1, v2, .., vn} de um espaço vetorial V, cada vetor v  V se…

. . . . . . . . . . . . . . . ca 36 37 38 39 6 Produto Interno 6.1 Defini¸ao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 6.2 Bases Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Constru¸˜o de bases ortogonais e bases ortonormais ca 6.5 Complemento ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Operadores Auto-adjuntos ou Hermitianos . . . . . . . . . . . . 42 42 43 44 45 46 47…

simultaneamente ortogonal aos vetores 2a  b e b  a , sendo a = (3, -1, -2) e b =(1, 0, -3). 17) Dados os vetores a = (1,-1,2), b = (3,4,-2) e c =(-5,1,-4), mostrar que a  (b  c )  (a  b )  c 5) Encontre um vetor unitário ortogonal simultaneamente a u = (1, 0, 1) e v = (0, 1, 1). 6) Sejam u = (1, 1, 2) e v = (a, 1, 2). Para quais valores de a, u e v são ortogonais? 7) Sejam u = ( 1/ 2 , 0, 1/ 2 ) e v = (a, 1/ 2 , -b). Para quais valores de a e b, o conjunto { u , v } forma uma…

. 12.3 Distˆancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˆ 12.4 Angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Processo de Ortonormalizac¸a˜ o de Gram-Schmidt 12.7 Complemento Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 133 136 138 139 140 145 149…

colineares é chamado base no plano e os números 𝑎 e 𝑏 são chamados componentes ou coordenadas de 𝑣 em relação à base {𝑣 ⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 }. Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais. Uma base é dita ortonormal se os vetores forem ortogonais e unitários. Existem naturalmente infinitas bases ortonormais no plano 𝑥𝑂𝑦, porém uma delas é particularmente importante. Trata-se da base formada pelos vetores representados por segmentos orientados com origem em 𝑂 e extremidade nos pontos (1

Angulo. Ortogonalidade . . 5.6 Base Ortogonal. Coeficientes de Fourier . 5.7 Processo de Gram–Schmidt . . . . . . . 5.8 Complemento Ortogonal . . . . . . . . . 5.9 Decomposi¸ca˜o Ortogonal . . . . . . . . . 5.10 Identidade de Parseval . . . . . . . . . . 5.11 Desigualdade de Bessel . . . . . . . . . . 5.12 Operadores Sim´etricos . . . . . . . . . . 5.13 Operadores Hermitianos . . . . . . . . . 5.14 Operadores Ortogonais . . . . . . . . . . 5.15 Proje¸c˜ao Ortogonal . . . . . . . . . . . .…

o (b) Calcule a distˆncia d(v1 , v2 ) = |v1 − v2 | a (c) Verifique quais vetores de B, dois a dois, s˜o ortogonais ou a paralelos. (d) Calcule o ˆngulo, dois a dois, formado pelos vetores de B. a (e) Determine o subespa¸o [B ] ⊆ I 3 . c R (f) Usando o processo de Gram-Schmidt, determine a partir da base B, uma base ortogonal do I 3 . R (g) Determine a partir de B uma base ortonormal do I 3 . R ˆ (h) Seja B o conjunto formado pelos vetores v1 e v2 de B substituindoˆ se o…