Cap Tulo 3 Vetores No R2 E N

Vetores no ℝ2 e no ℝ3

Capítulo 3

1

CAPÍTULO 3

Vetores no ℝ𝟐 e no ℝ𝟑

3.1

Introdução
No capítulo anterior, estudamos os vetores do ponto de vista geométrico. No presente

capítulo, vamos mostrar outra forma de representá-los: os segmentos orientados estarão relacionados com os sistemas de eixos cartesianos do plano e do espaço.

3.2

Decomposição de um vetor no plano
Dados dois vetores ⃗⃗⃗⃗
𝑣1 e ⃗⃗⃗⃗
𝑣2 , não colineares, qualquer vetor 𝑣 coplanar com ⃗⃗⃗⃗
𝑣1 e ⃗⃗⃗⃗
𝑣2 pode ser

decomposto segundo as direções de ⃗⃗⃗⃗
𝑣1 e ⃗⃗⃗⃗
𝑣2 . O problema consiste em determinar dois vetores cujas direções sejam as de ⃗⃗⃗⃗
𝑣1 e ⃗⃗⃗⃗
𝑣2 e cuja soma seja 𝑣. Em outras palavras, iremos determinar dois números reais 𝑎 e 𝑏 tais que:
𝑣 = 𝑎𝑣
⃗⃗⃗⃗1 + 𝑏𝑣
⃗⃗⃗⃗2
Exemplo 1. Escreva o vetor 𝑣 como combinação linear dos vetores ⃗⃗⃗⃗
𝑣1 e ⃗⃗⃗⃗
𝑣2 .

Geometria Analítica

Vetores no ℝ2 e no ℝ3

Capítulo 3

2

Quando o vetor 𝑣 estiver representado por: 𝑣 = 𝑎𝑣
⃗⃗⃗⃗1 + 𝑏𝑣
⃗⃗⃗⃗2 dizemos que 𝑣 é combinação linear de ⃗⃗⃗⃗
𝑣1 e ⃗⃗⃗⃗
𝑣2 . O par de vetores ⃗⃗⃗⃗
𝑣1 e ⃗⃗⃗⃗
𝑣2 , não colineares é chamado base no plano e os números
𝑎 e 𝑏 são chamados componentes ou coordenadas de 𝑣 em relação à base {𝑣
⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗⃗
𝑣2 }.
Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais. Uma base é dita ortonormal se os vetores forem ortogonais e unitários.
Existem naturalmente infinitas bases ortonormais no plano 𝑥𝑂𝑦, porém uma delas é particularmente importante. Trata-se da base formada pelos vetores representados por segmentos orientados com origem em 𝑂 e extremidade nos pontos (1,0) e (0,1). Estes vetores são simbolizados por 𝑖 e 𝑗 e a base {𝑖, 𝑗} é chamada canônica.

3.3

Expressão analítica de um vetor
Fixada a base {𝑖, 𝑗}, fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre os vetores do

plano e os pares ordenados (𝑥, 𝑦) de números reais e se representa por:
𝑣 = (𝑥, 𝑦)
Exemplo 2. A primeira componente 𝑥 é chamada abscissa e a segunda, ordenada. Por