2a Lista Linear I

1) Calcule os seguintes produtos internos:
a) (i  2 j  3k )  (2i  2 j  5k )
b) (3i  3 j  4k )  (i  2 j  6k )
c) (2i  3 j  k )  (3i  2 j  7k )



b) || a  b ||2  || a  b ||2  2 || a ||2  || b ||2



c) | a  b |  || a ||  || b || (Desigualdade de Schwarz)
d) || a  b ||  || a ||  || b || (Desigualdade Triangular)
e) || a ||  || b ||  || a  b ||

2) Mostre que os vetores a, b e c são linearmente independentes se,

14) Dados os vetores a = (1, 2,1) e b = (2,1, 0), calcular:

e somente se, a equação  a   b   c  0 só possui a solução nula

a) 2 a  ( a + b ) b) ( a + 2 b )  ( a - 2 b )

     0.
15) Dados os pontos A(2, -1, 2), B(1, 2, -1) e C(3, 2,1), determinar o
3) Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são os pontos
A(3, 2, 1), B(3, 2, 2) e C(3, 3, 2).
4) Verifique se os seguintes pontos são coplanares
a) A(2, 2, 1), B(3, 1, 2) e C(2, 3, 0) e D(2, 3, 2)
b) A(2, 0, 2), B(3, 2, 0) e C(0, 2, 1) e D(1, 2, 0)





vetor CB  BC  2CA .
16) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores
2a  b e b  a , sendo a = (3, -1, -2) e b =(1, 0, -3).

17) Dados os vetores a = (1,-1,2), b = (3,4,-2) e c =(-5,1,-4), mostrar que a  (b  c )  (a  b )  c

5) Encontre um vetor unitário ortogonal simultaneamente a u = (1, 0, 1) e v = (0, 1, 1).
6) Sejam u = (1, 1, 2) e v = (a, 1, 2). Para quais valores de a, u e v são ortogonais?
7) Sejam u = ( 1/ 2 , 0, 1/ 2 ) e v = (a, 1/ 2 , -b). Para quais valores de a e b, o conjunto { u , v } forma uma base ortonormal do plano gerado por eles?
8) Determine a projeção de u = (1, 2, -3) na direção de e v = (2, 1, -2).
9) Qual a projeção de u = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x ?
10) Sejam u , v e w vetores do ℝ3. Prove que se u  v  u  w então

18) Determinar o valor de m para que o vetor a = (1, 2, m) seja simultaneamente ortogonal aos vetores b =(2, -1, 0) e c = (1, -3, -1) . c 19) Dados os vetores v  (a,5b,  ) e w  (3a, x, y) , determinar x
2

e y para que v  w  0 .
20)