calculo vetorial

Milene Pimenta

Observação:
Os elementos do espaço vetorial V são chamados vetores.

Exemplos de Espaços Vetoriais

Propriedades da Adição

Propriedades da Multiplicação por um escalar

Propriedades dos Espaços Vetoriais

Subespaços Vetoriais

Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não-vazio de V.

S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V.

Teorema: Um subconjunto S não vazio, de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se estiverem satisfeitas as condições.

Demonstração:

Observação:

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Exemplo 3:

Combinação Linear

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Soma de dois Subespaços Vetoriais

Exemplo:

Soma direta de dois Subespaços Vetoriais

Exemplo:

Interseção de dois Subespaços Vetoriais

Exemplo:

Subespaços Gerados

Exemplos:

Dependência e independência linear
Definição: Seja V um espaço vetorial.

Os vetores v1, v2, . . ., vm,  V dizem-se

linearmente dependentes, se existem escalares α1, α2, ... , αm  ℝ, não

simultaneamente nulos, tais que α1v1 + α2v2 + ... + αmvm = 0.
Caso contrário, se diz que os vetores são

linearmente independentes .

Base e dimensão:
Definição: Um conjunto S = {u1, u2, ..., um} de vetores é uma base de V, se valem as seguintes condições:
i) Os vetores u1, u2, ... , um são linearmente independentes. ii) O vetores u1, u2, ... , um geram V.

Definição: Um conjunto B = {u1, u2, ... , un}

de vetores é uma base de V, se todo vetor v ∈ V pode se escrever de maneira única como combinação linear dos vetores da base. Neste caso, dizemos que o espaço vetorial V tem

dimensão finita n, ou que é ndimensional e se escreve dim V = n.

Teorema: Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Então, toda base de V tem o mesmo

número de elementos.
Por definição, o espaço vetorial {0} tem