Vetores

Vetores no ℝ e no ℝ

Capítulo 3

1

CAPÍTULO 3

Vetores no ℝ e no ℝ

3.1

Introdução
No capítulo anterior, estudamos os vetores do ponto de vista geométrico. No presente

capítulo, vamos mostrar outra forma de representá-los: os segmentos orientados estarão relacionados com os sistemas de eixos cartesianos do plano e do espaço.

3.2

Decomposição de um vetor no plano
Dados dois vetores

e

, não colineares, qualquer vetor

decomposto segundo as direções de direções sejam as de números reais

e

e

e

e

pode ser

. O problema consiste em determinar dois vetores cujas

e cuja soma seja . Em outras palavras, iremos determinar dois

tais que:
=

Exemplo 1. Escreva o vetor

Geometria Analítica

coplanar com

+

como combinação linear dos vetores

e

.

Jhoab Negreiros

Vetores no ℝ e no ℝ

Capítulo 3

Quando o vetor linear de e e

=

estiver representado por:

. O par de vetores

e

+

dizemos que

2

é combinação

, não colineares é chamado base no plano e os números

são chamados componentes ou coordenadas de

em relação à base { ,

}.

Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais. Uma base é dita ortonormal se os vetores forem ortogonais e unitários.
Existem naturalmente infinitas bases ortonormais no plano

, porém uma delas é

particularmente importante. Trata-se da base formada pelos vetores representados por segmentos orientados com origem em

e extremidade nos pontos (1,0) e (0,1). Estes vetores são

simbolizados por e e a base { , } é chamada canônica.

3.3

Expressão analítica de um vetor
Fixada a base { , }, fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre os vetores do

plano e os pares ordenados ( , ) de números reais e se representa por:
=( , )
Exemplo 2. A primeira componente vez de escrever

é chamada abscissa e a segunda, ordenada. Por exemplo, em

= 4 − 12 , pode-se escrever

= (4, −12).

Igualdade