Ortogonal E Ortonormal

de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2010. 196p.; 21 x 29,7 cm. ISBN: 85-89200-44-2 2010/1 1. Álgebra linear. 2. Vetores. 3. Matrizes. 4. Sistemas lineares. 5. Determinantes. 6. Espaços vetoriais. 7. Combinações lineares. 8. Conjuntos ortogonais e ortonormais I. Rios, Isabel Lugão II. Cunha, Marisa Ortegoza da. III. Título. CDD:512.5 Referências Bibliográficas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT. Governo do Estado do Rio de Janeiro Governador Sérgio Cabral Filho

de Janeiro : Fundação CECIERJ, 2009. 195p.; 21 x 29,7 cm. ISBN: 85-89200-44-2 2009/2 1. Álgebra linear. 2. Vetores. 3. Matrizes. 4. Sistemas lineares. 5. Determinantes. 6. Espaços vetoriais. 7. Combinação lineares. 8. Conjuntos ortogonais e ortonormais I. Rios, Isabel Lugão II. Cunha, Marisa Ortegoza da. III. Título. CDD:512.5 Referências Bibliográficas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT. Governo do Estado do Rio de Janeiro Governador Sérgio Cabral Filho

Aula 13 Soma de subespaços _______________________________________________ 135 Aula 14 Espaços vetoriais com produto interno _______________________________ 149 Aula 15 Conjuntos ortogonais e ortonormais _________________________________ 161 Aula 16 Complemento ortogonal ___________________________________________ 173 Aula 17 Exercícios resolvidos ________________________________________________ 181 §1. Vetores, matrizes e sistemas lineares …

Escreva todas as g2 = e1 + e2 → − g =e 3 1 base envolvendo E, F e G. − − 29. Determine x de modo que → u e→ v sejam ortogonais. → → a) − u = (x, 0, 3), − v = (1, x, 3) → − − b) u = (x + 1, 1, 2), → v = (x − 1, −1, −2) → → c) − u = (x, x, 4), − v = (4, x, 1) → − → d) u = (x, −1, 4), − v = (x, −3, 1) √ → → 30. Obtenha − u ortogonal a (1, 1, 0) tal que − u = 2 e a medida angular → em graus entre − u e (1, −1, 0) seja 45. 31. Verdadeiro ou…

e limitado. Prove que P ´ a proje¸˜o ortogonal em e ca algum subespa¸o fechado Y ⊂ H se e somente se P 2 = P e P ´ auto-adjunto. c e Exerc´ ıcio 3 Suponha que h´ D = {di }i∈N ⊂ H denso e enumer´vel com 0 ∈ D. Suponha a a ainda que H tem dimens˜o infinita. Defina n1 = 1, b1 = d1 / d1 , V1 ≡ span({b1 }) e a indutivamente para k ≥ 2: • nk = min{n ∈ N : n > nk−1 , dn ∈ Vk−1 }; • bk = dnk −Πk−1 dnk dnk −Πk−1 dnk onde Πk−1 ´ a proje¸˜o ortonormal em Vk−1 ; e ca • Vk…

podem ser classificados como conjuntos ortonormais. 17) Para quais valores de k, se houver, são e ortogonais? 18) Use vetores para encontrar os cossenos dos ângulos internos do triângulo de vértices e 19) Use vetores para mostrar que , e retângulo. Em qual vértice encontra-se o ângulo reto? ( 20) Mostre que os vetores terceiro vetor , tal que , e )e ( , são os vértices de um triângulo ) são vetores ortonormais e encontre um formem um conjunto ortonormal.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2 Complemento ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6 Transformação adjunta 81 6.1 Posto de uma transformação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2 Existência de solução dos sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7 Projetores 7.1 Projetores ortogonais . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Projetores ortogonais em Cm×1 . . . . . . . . 7.3 Ortogonalização de Gram-Schmidt em Cm×1 .

Matrizes de Projeções, Mínimos Quadrados Ortogonalidade II: Matrizes Ortogonais, Procedimento de Gram­Schmidt, A = QR Conteúdo : Espaço Vetorial Subespaço Vetorial Espaço Coluna Espaço Nulo Independência linear Base Dimensão Soma e Soma Direta de Subespaços Quatro Subespaços Notáveis / Teorema Fundamental da Álgebra Linear Subespaços ortogonais Projeções / Matrizes de Projeções Mínimos Quadrados Matrizes Ortogonais Processo Gram­Schmidt Fatorização A = QR…

conhecida propriedade dos losangos. Sugestão: calcule os cossenos dos ângulos entre u e c e entre u e a, e compare-os. Nos exercícios de 21 a 27 assumimos que as coordenadas dos vetores estão expressas em relação a uma base ortonormal. √ 21. Determine u tal que u = 3 3 e u é ortogonal a v = (2, 3, −1) e a w = (2, −4, 6). Dos u ’s encontrados, qual é o que forma um ângulo agudo com o vetor (1, 0, 0)? √ 22. Determine u tal que u = 2, a medida em graus do ângulo entre u e (1, −1, 0) seja…

tiverem a mesma direção. Observação Se dois vetores são paralelos então possuem representantes numa mesma reta e são ditos colineares. Vetores ortogonais Dois vetores e são ortogonais, e indica-se , se algum representante de formar um ângulo reto com algum representante de .