Geometria

Disciplina de Geometria Anal´ıtica.
Lista 1
1. Verifique se ´e verdadeira ou falsa cada afirma¸c˜ao e justifique sua resposta.
−−→
a) (A, B) ∈ AB
−−→ −−→
b) AB//CD ⇒ AB//CD
−−→ −−→
c) (A, B) (C, D) ⇔ AB = CD
−−→ −−→
d) AB = CD ⇒ A = C e B = D
−
2. Use as propriedades das opera¸c˜oes com vetores para provar que se → v ´e um vetor e n ∈ N, ent˜ ao n · v = v + v + v + . . . + v (n parcelas).
→
→
→
→
→
→
→
3. Use as rela¸c˜ oes 2(− u +− v ) = 2− u + 2− v e 2− w =− w +− w para mostrar que a comutatividade da adi¸c˜ao de vetores pode ser demonstrada a partir das demais propriedades.
4. Prove que:
→
−
−
→
→
→ u +− z =− u ⇒− z = 0
a) →
→
−
→
→
→
→
b) − u +− z = 0 ⇒− z = −− u −
−
→
→
c) O oposto de → u +→ v = −− u −− v 5. Quais s˜ ao a origem e a extremidade de um representante do vetor abaixo?
−−→ −−→ −→ −−→ −−→
BC + GH − F A − GC + F B
→
6. Sendo M o ponto m´edio de AC, N o ponto m´edio de BD e o vetor − x dado
−
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−
−
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−
−
→
−
−
→
−
−
→
→
−
→
−
por x = AB + AD + CB + CD, prove que x //M N .
7. Prove que:
→
→
a) (A + −
u)−−
u =A
→
−
→
−
→
→
b) (A − u ) + v = A − (− u −−
v)
−−→ →
→
→
→
c) A + − u =B+− v ⇒− u = AB + − v 8. Sendo r a raz˜ ao em que um ponto P divide um segmento
−→
−−→ nulo (A,B) tal que AP = rP B com P = B, assim r =

orientado n˜ao−→
AP
−−→ . Seja r
PB
a raz˜ ao em que o ponto P divide o segmento orientado n˜ao-nulo (A,B).
−→
r −−→
AB.
Prove que r = −1 e que AP =
1+r

1

9. Prove que o segmento que une os pontos m´edios dos lados n˜ao paralelos de um trap´ezio ´e paralelo ` as bases, e sua medida ´e a semi-soma das medidas das bases.
10. Prove que:
−
→
→
→
→
a) (→ u,− v ) ´e LD ⇒ (− u,− v ,− w ) ´e LD
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
b) ( u , v , w ) ´e LI ⇒ ( u , v ) ´e LI.
−
→
→
→
→
→
c) (→ u,− v ) ´e LD ⇔ (− u +− v ,− u −− v ) ´e LD
11. Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
−
→