Exercício geometria analítica

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIARIDO-UFERSA.
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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS E NATURAIS.
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BACHARELADO EM CIENCIA E TECNOLOGIA.
DISCIPLINA DE GEOMETRIA ANAL´
ITICA.
LISTA 1
1. Verifique se ´ verdadeira ou falsa cada afirma¸˜o e justifique sua resposta. e ca
−
−
→
a) (A, B ) ∈ AB
−
−
→ −→
−
b) AB//CD ⇒ AB//CD
−
−
→ −→
−
c) (A, B ) (C, D) ⇔ AB = CD
−
−
→ −→
−
d) AB = CD ⇒ A = C e B = D
−e
2. Use as propriedades das opera¸˜es com vetores para provar que se → ´ co v um vetor e n ∈ N, ent˜o n · v = v + v + v + . . . + v (n parcelas). a −−
−
−
−
3. Use as rela¸˜es 2(→ + →) = 2→ + 2→ e 2→ = → + → para mostrar que co u v u v w−− w w a comutatividade da adi¸˜o de vetores pode ser demonstrada a partir das ca demais propriedades.
4. Prove que:
→
−
−−
−
−
a) → + → = → ⇒ → = 0 u z u z
→
−
−−
−
−
b) → + → = 0 ⇒ → = −→ u z z u
− −e − −
c) O oposto de → + → ´ −→ − → u v u v
5. Quais s˜o a origem e a extremidade de um representante do vetor abaixo? a −→ −→ −
−
−
→−
−
→ −→
−
BC + GH − F A − GC + F B
−
6. Sendo M o ponto m´dio de AC, N o ponto m´dio de BD e o vetor → dado e e x −
→
−
−
−
−
→ = − + −→ + −→ + −→, prove que →//− →.
−
− MN por x
AB AD CB CD x 7. Prove que:
−
−
a) (A + →) − → = A u u
−
−
−−
b) (A − →) + → = A − (→ − →) u v u v
−
−
→→
−
−
−
c) A + → = B + → ⇒ → = AB + − u v u v
8. Sendo r a raz˜o em que um ponto P divide um segmento a −
→
−→
−
nulo (A,B) tal que AP = rP B com P = B , assim r =

orientado n˜oa
−
→
AP
−→ . Seja r
−
PB a raz˜o em que o ponto P divide o segmento orientado n˜o-nulo (A,B). a a
−
→
−
→ r− Prove que r = −1 e que AP =
AB .
1+r

9. Prove que o segmento que une os pontos m´dios dos lados n˜o paralelos de e a um trap´zio ´ paralelo `s bases, e sua medida ´ a semi-soma das medidas e e a e das bases.

1

10. Prove que:
−− e
−−− e
a) (→, →) ´ LD ⇒ (→, →, →) ´ LD uv uvw
→, →,