Trabalhos

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4.2

Produto Vetorial

Dados dois vetores u e v no espa¸o, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por c u × v (ou u ∧ v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes, precisamos introduzir o conceito de orienta¸˜o no espa¸o. ca c

4.2.1

Orienta¸˜o geom´trica ca e

Orienta¸˜o sobre uma reta r ca ca Dada uma reta r em que fixamos arbitrariamente um ponto O, temos uma no¸˜o imediata de orienta¸˜o da reta a partir da escolha de uma das semi-retas determinadas pelo ponto O como ca sendo o semi-eixo positivo. Numa representa¸˜o geom´trica de r na posi¸˜o horizontal, ´ usual convencionar como “orica e ca e enta¸˜o positiva”a escolha da semi-reta “` direita”do ponto O, que ´ sua origem. ca a e Escolhendo a outra semi-reta, estar´ ıamos com “orienta¸˜o negativa”. ca Em linguagem vetorial, a escolha de um vetor diretor v da reta r determina automaticamente o sentido positivo (no sentido do vetor v) e o sentido negativo (no sentido oposto de v) da reta. Por isso, dizemos que um vetor v = 0 determina a orienta¸˜o de r. ca Orienta¸˜o do plano R2 ca Consideremos o plano R2 . Dados um ponto O do plano e um par de vetores {v1 , v2 } l.i., todos os pontos X do plano s˜o dados pela equa¸˜o vetorial X = O + λv1 + µv2 , λ, µ ∈ R. a ca Geometricamente, o ponto O e o vetor v1 determinam uma reta r contida no plano, que separa o plano em dois semi-planos. Ent˜o, considerando os representantes dos vetores v1 e v2 a partir de O, temos que o represena tante de v2 determina um unico semi-plano que o cont´m. ´ e

95 O ˆngulo orientado medido no sentido de v1 para a v2 (dentro do semi-plano) pode ser de duas uma: ou tem sentido hor´rio (acompanhando o moa vimento dos ponteiros do rel´gio) o ou tem sentido anti-hor´rio. a

v2

  v1  •   O

tid sen r

ti-h an o

o ari or´

Na ilustra¸˜o, {v1 , v2 }, nesta ordem, tem o ˆngulo orientado no sentido anti-hor´rio. ca a a Convenciona-se que uma base l.i. de geradores do