Ortogonal E Ortonormal

Ortogonalidade . . c˜ 5.6 Base Ortogonal. Coeficientes de Fourier . 5.7 Processo de Gram–Schmidt . . . . . . . 5.8 Complemento Ortogonal . . . . . . . . . 5.9 Decomposi¸ao Ortogonal . . . . . . . . . c˜ 5.10 Identidade de Parseval . . . . . . . . . . 5.11 Desigualdade de Bessel . . . . . . . . . . 5.12 Operadores Sim´tricos . . . . . . . . . . e 5.13 Operadores Hermitianos . . . . . . . . . 5.14 Operadores Ortogonais . . . . . . . . . . 5.15 Proje¸ao Ortogonal . . . . . . . .…

e-mail: marcelooliveiraveloso@gmail.com 06 de Outubro de 2011 Exerc´ıcio 1 Mostre que autovetores associados a autovetores distintos s˜ ao LI. Exerc´ıcio 2 Seja B uma matriz sim´etrica. Mostre que autovetores associados a autovetores distintos s˜ ao ortonormais. Dica: mostre que λ1 (u · v) = λ2 (u · v). Exerc´ıcio 3 Seja B uma matriz quadrada. Mostre que se v ´e um autovetor de B associado ao autovalor λ, ent˜ ao v ´e um autovetor de B k associado ao k autovalor λ para todo k ∈ N.…

Revolucionária. Números de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, ... satisfazem . Taxa de crescimento é o maior autovalor da matriz de Fibonacci . Quatro Subespaços fundamentais de A = C (A), N (A), C (AT), N (AT). Matriz de Fourier F. As entradas dão colunas ortogonais . Então y = Fc é a Transformada Discreta de Fourier (inversa) . Colunas livres de A. Colunas sem pivôs; combinações de colunas precedentes. Variável livre xi . A coluna i não tem pivô na eliminação. Podemos dar quaisquer…

com . Vetores ortogonais Dizemos que os vetores e são ortogonais, e se representa por , se, e somente se, . Um conjunto de vetores do espaço vetorial euclidiano é ortogonal se dois vetores quaisquer, distintos, são ortogonais, ou seja, para . Observe que um conjunto ortogonal de vetores não nulos é linearmente independente (LI) Base ortogonal Diz-se que uma base de um espaço vetorial euclidiano é ortogonal se os seus vetores são dois a dois ortogonais. Neste…

arbitrário). Suponha que os estados forma uma base discreta ortonormal. O operador de U (m, n) é definida por: U (m,n) = a) Calcular o adjunto de b) Calcular o comutador [H, U (m, n)]. c) Provar a relação: . d) Calcular Tr {U (m, n)}, o rastreio do operador U (m, n). e) Seja A um operador, com elementos de matriz a relação: . Provar f) Mostre que 2. Num espaço vetorial bidimensional, considere o operador cuja matriz, em uma base ortonormal , está escrito: a) hermitiano?…

{\mathbf{u}_k\over||\mathbf{u}_k||} Os dois primeiros passos do método de Gram-Schmidt. A seqüencia u1, …, uk é o sistema de vetores ortogonais e (não necessariamente) normalizados e1, …, ek formam um conjunto ortonormal, ou seja: de vetores ortogonais entre si dois a dois e normalizados. Para verificar que estas fórmulas resultam em uma sequência ortogonal, primeiro compute 〈u1, u2〉 substituindo a fórmula acima por u2: encontra-se 0 (zero). Então usando esse facto para computar…

Sumário Introdução 2 Espaço Vetorial 3 Mudança de Base 3 Base Ortogonal 4 Processo de Gram-Scheidt 6 Autovalores e Auto Vetores 7 Introdução Nesta primeira parte do atps iremos explicar determinados conceitos, em sua grande maioria serão repassados os conceitos de álgebra linear, pois esse resultado da álgebra linear e dos espaços vetoriais e analise numérica são de ampla importância para a formação do nosso ATPS Para começarmos vamos fazer uma apreciação de

de E. c Defini¸˜o 1.5 - Dizemos que x ´ ortogonal a y, em s´ ca e ımbolo, x ⊥ y, se e somente se (x, y) = 0. Observe que (x, θ) = (θ, x) = 0 qualquer que seja x, onde θ ´ o vetor nulo. e Exemplo 1.6 - No espa¸o E = C[−π, π], com (f, g) = c ortogonais. π −π f (x) g(x) dx, verificar se sen x e cos x s˜o a Solu¸˜o: Temos: ca π sen x cos x dx = (sen x, cos x) = −π sen2 x 2 π = 0. −π Assim, sen x e cos x s˜o ortogonais em E. a Exemplo 1.7 - Em E = I 3 , com

com os demais elementos nulos. 3º) A matriz P é formada pelos autovetores, mantendo a ordem em que seus respectivos autovalores foram dispostos em D. 4º) Calculamos . temos um sistema homogêneo com solução não trivial . Logo Conjuntos ortogonais a) os autovalores de A são as raízes do polinômio característico det(A – ) = 0, b) os autovetores associados a  são determinados pelo sistema homogêneo (A – ) = . Sejam = Observações a) Os autovalores de uma matriz…

Sejam x, y elementos de E. Defini¸ c˜ ao 1.5 - Dizemos que x ´e ortogonal a y, em s´ımbolo, x ⊥ y, se e somente se (x, y) = 0. Observe que (x, θ) = (θ, x) = 0 qualquer que seja x, onde θ ´e o vetor nulo. Exemplo 1.6 - No espa¸co E = C[−π, π], com (f, g) = ortogonais. π −π f (x) g(x) dx, verificar se sen x e cos x s˜ ao Solu¸ c˜ ao: Temos: π (sen x, cos x) = sen x cos x dx = −π sen2 x 2 π = 0. −π Assim, sen x e cos x s˜ ao ortogonais em E. Exemplo 1.7 - Em E = IR3 , com o produto…