algebra

PRÉ-VESTIBULAR
CÁLCULO 1
CÁLCULO 2
ÁLGEBRA LINEAR
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
MATEMÁTICA APLICADA
CÁLCULO NUMÉRICO

TODA A MATEMÁTICA
GUSTAVO VIEGAS

av. Osvaldo Aranha 734/404

ÁLGEBRA LINEAR – ÁREA 2
RESUMO TEÓRICO
Autovalores e autovetores
Definição
Um vetor

é autovetor de uma matriz

se A =  .

O número  é chamado autovalor de A associado a . Como
A =
(A – ) =

Cálculo da diagonalização A = PD
1º) Calculamos os autovalores e os autovetores de A.
2º) A matriz D é formada pelo autovalores, dispostos na diagonal principal e com os demais elementos nulos.
3º) A matriz P é formada pelos autovetores, mantendo a ordem em que seus respectivos autovalores foram dispostos em D.
4º) Calculamos
.

temos um sistema homogêneo com solução não trivial
. Logo

Conjuntos ortogonais

a) os autovalores de A são as raízes do polinômio característico det(A – ) = 0,
b) os autovetores associados a  são determinados pelo sistema homogêneo (A – ) = .

Sejam =

Observações
a) Os autovalores de uma matriz triangular são os elementos de sua diagonal principal.
b) Uma matriz A é invertível se, e somente se, 0 não é autovalor de A. De outra forma, det(A) = 0, se, e somente se,  = 0 é autovalor.
Diagonalização A = PD
Se um autovalor  é raiz vezes do polinômio característico det(A – ) = 0, dizemos que  tem multiplicidade algébrica
.
Se um autovalor  é tal que a matriz (A – ) possui variáveis livres, dizemos que  tem multiplicidade geométrica . A dimensão do auto-espaço associado a  é .
Teorema
Uma matriz é diagonalizável se, e somente se, a soma das multiplicidades geométricas de seus autovalores é n.

Produto escalar e norma de vetores e =

.

O produto escalar de por é e são ortogonais se
= 0.
A norma do vetor é
=

=

+

.

Conjunto ortogonal
Dizemos que um conjunto { , ,..., vetores forem ortogonais dois a dois.
Se W = { ,

,...,

.

} é ortogonal se os

} é um conjunto