ortogonalizaçao de gram schimidt

O processo de Gram-Schmidt[editar | editar código-fonte]
Definimos o operador projeção por

\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,\mathbf{v} = {\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle\over\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u}.
Projeta o vetor v ortogonalmente em u.

O processo se dá da seguinte maneira:

\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1, \mathbf{e}_1 = {\mathbf{u}_1 \over ||\mathbf{u}_1||}
\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_2, \mathbf{e}_2 = {\mathbf{u}_2 \over ||\mathbf{u}_2||}
\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2}\,\mathbf{v}_3, \mathbf{e}_3 = {\mathbf{u}_3 \over ||\mathbf{u}_3||}
\vdots \vdots
\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_j}\,\mathbf{v}_k, \mathbf{e}_k = {\mathbf{u}_k\over||\mathbf{u}_k||}

Os dois primeiros passos do método de Gram-Schmidt.
A seqüencia u1, …, uk é o sistema de vetores ortogonais e (não necessariamente) normalizados e1, …, ek formam um conjunto ortonormal, ou seja: de vetores ortogonais entre si dois a dois e normalizados.

Para verificar que estas fórmulas resultam em uma sequência ortogonal, primeiro compute 〈u1, u2〉 substituindo a fórmula acima por u2: encontra-se 0 (zero). Então usando esse facto para computar 〈u1, u3〉 novamente substituindo a fórmula por u3: encontra-se 0. A prova geral processa-se por indução matemática. O processo de Gram-Schmidt determina uma base de vetores ortonormais que, ao sofrer uma composição linear por uma matriz alternativamente diagonal, se torna equivalente à aplicação linear da base canónica que sofreu o processo.

Exemplo[editar | editar código-fonte]
Considere o seguinte grupo de vetores no R2 (Com produto interno convencional)

S = \left\lbrace\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}2 \\2\end{pmatrix}\right\rbrace.
Agora , aplicamos Gram-Schmidt,para obter um conjunto ortonormal de vetores: