Ortogonalidade

Ortogonalidade

Definição: Dois vetores u e v de dizem-se ortogonais se = 0.
Exemplo: Sejam os vetores u= (2, 1, -3, -4) e v= (2, -12, -4, 1) R4. Eles são ortogonais pois: = (2, 1, -3, -4)(2, -12, -4, 1) = 0
Obs.: O vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor,pois: u. (0, 0..., 0) = 0  u .

Conjunto ortogonal
Definição: Seja V um espaço vetorial. Diz-se que umconjunto de vetores B={v1, v2, ..., Vn} V é ortogonal se seus vetores são ortogonais dois a dois, ou seja: = 0, para i ≠ j.
Exemplo 1: Seja o conjunto B = {(1, 2, -3), (3, 0, 1),(1, -5, -3)} R3. Ele é um conjunto ortogonal, pois: = 3 + 0 – 3 = 0 = 1 – 10 + 9 = 0 = 3 + 0 – 3 = 0

Exemplo 2: B = {(0, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, -1)} = 0 = 0 =0 Logo, esse conjunto é ortogonal.
Se além disso, a norma de cada vetor do conjunto for igual a 1, ou seja, ||vi|| = 1, então este conjunto é chamado de Ortonormal.
Exemplo 1: {(, ), (, )}
< (, ), (, )> = + = 0

|| (, ) || = = = = = 1

|| (, ) || = = = = = 1

Exemplo 2: S = {(2, -3, 1), (5, 4, 2)} = 10 – 12 + 2 = 0
|| (2, -3, 1) || = = = ≠ 1
Logo, esse conjunto não é ortonormal.

Base Ortogonal
Seja B ={v1, v2, ..., vn} uma base de V.Diz-se que B é uma base ortogonal se conjunto de vetores é um conjunto orotgonal.
Exemplo: {(1, 2, -3), (3, 0, 1),(1, -5, -3) } é uma base orotgonal do R3 pois, é um conjunto ortogonal.

Base Ortonormal
Seja B ={v1, v2, ..., vn} uma base do espaço vetorial V. B é dita ortonormal se ela é ortogonal e se a norma de cada um dos seus vetores forem iguais a 1, isto é: =
Exemplo1: B = { (1, 0), (0, 1)}
Vamos verificar se ela é Ortonormal. Para isso verificamos: se ela é ortogonal: = 0 se a norma dos seus vetores é iguala 1: ||v1|| e ||v2|| = 1.

= < (1, 0), (0, 1) > = 0 → ela é ortogonal
Agora vamos calcular a norma de cada vetor:
|| (1, 0) || = = = 1
|| (0, 1) || = = = 1
Logo B é uma base ortonormal.

Exemplo 2: B = {(1, -2, 1), (4, 0, -4),(1, 1, 1)}
Vamos