Ortogonalidade de Vetores

Instituto Tecnológico, de Ciências Sociais Aplicadas e da Saúde
Curso de Engenharia de Produção e Engenharia Mecânica
Professora: Simone Carvalho
ATIVIDADES DE ÁLGEBRA II
1-Módulo: v = v.v = x ² + y ² + z ²
2-Distancia entre dois pontos: d = u − v =

( x1 − x2 ) ² + ( y1 − y2 ) ² + ( z1 − z2 ) ²

3-Vetor Unitário: v = 1 ⇒ v.v = 1
4-Para se normalizar um vetor não nulo: u =
5-Ângulo entre dois vetores: cos φ =

v v u.v
,0 ≤ φ ≤ π
u.v

6- Vetores ortogonais: u.v = 0
7- Fórmula do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt: w1 = v1
 v .w  w2 = v2 −  2 1  .w1
 w 1.w1 
 v .w 
 v .w w3 = v3 −  3 2  .w2 −  3 1
 w 2 .w2 
 w2 .w2


 .w1


1- Em relação ao produto interno usual do IR², calcular u.v:
a)u=(-3,4) e v=(5,-2)
1
b) u=(6,-1) e v=( ,-4)
2
2- Calcular u.v ,com os vetores acima, em relação ao produto interno:
u.v = 3x1x2 +4 y1y2.
3- Determinar c do vetor v=(6,-3,c) tal que v = 7:
4Seja V=IR³ e o produto interno : (x1,y1, z1).( x2,y2, z2) = 2 x1x2+3 y1y2.+ z1z2 .
Determine um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u=(1,2,1) e v=(1,1,1) 5.Seja B= { (1,1,0),(1,0,1),(0,2,0)} do IR³, ache uma base ortonormal(é ortogonal e todos os seus vetores são unitários), em relação ao produto interno usual.
6- Calcular os valores de m para os quais u e v são ortogonais: u=(3m,2,-m) e v=(-4,1,5).
7- Calcular um vetor unitário u simultaneamente ortogonal aos vetores v1= (1,-1,2) e (2,1,0 ) do espaço vetorial V= IR³ em relação ao produto interno:
(x1, y1,z1). (x2,y2,z2) = 2x1x2+ y1y2 + 4 z1z2.

8- Qual a transformação linear T: IR²→ IR³ tal que :
a) T (1,1) = (3,2,1) e T (0,-2)= (0,1,0)
b) a transformação linear: T(1,0)
c) a transformação linear: T(0,1)
9- Qual é a transformação linear S: IR³→IR² tal que S(3,2,1)= (1,1),
S(0,1,0)=(0,-2) e S(0,0,1)= (0,0)?
GABARITO:
1- A)-23
B) 7
2- A) -77
B) 25
3- c = ± 2
−1
, 0, 1)
2
 1 −1   −2 2 2  
5- B= { ( 1,1, 0 ) ,  , ,1 ,  , ,   →