Vetores No Plano E No Espaço

Questões ....................................................................................................................................................13 4. Vetores ...........................................................................................................................................................14 4.1. Adição de Vetores ......................................................................................................................................15…

ponto, reta e plano. Os pontos são representados por letras maiúsculas, as retas por minúsculas e os planos por letras gregas minúsculas. As relações entre esses conceitos são estabelecidas através de axiomas (ou postulados), isto é, afirmações que não são provadas e que são a base de terorias. Lembrando alguns dos axiomas da geometria Euclidiana: • Por dois pontos passam um única reta; • Três pontos quaisquer, que não estejam situados em uma mesma reta, determinam um único plano; • …

de vetores Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por: v + w = (a+c,b+d) Propriedades da Soma de vetores Diferença de vetores Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por: v - w = (a-c,b-d) Produto de um número escalar por um vetor Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v como: c.v = (ca,cb) Propriedades do produto de escalar por vetor Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores: Módulo de um vetor O

introduzidos Espaços Vetorias: para o Plano duas regiões Geométrico, representado pelo ℜ2 (sistema de coordenadas cartesianas no plano) e o Espaço Geométrico, representado pelo ℜ3 (sistema de coordenadas cartesianas no espaço). No entanto, os próximos conceitos que serão introduzidos só tem significado geométrico para vetores no Espaço (ℜ3). Apesar de alguns serem válidos também para vetores no plano, mas nem todos. Portanto, no que segue estaremos considerando…

Geometria Analítica Ponto: Elemento do espaço que indica uma posição EX: P(1,2). 𝑥1 𝑦1 1 Alinhamento de 3 pontos: 3 pontos estão alinhados quando 𝐷 = 𝑥2 𝑦2 1 = 0 𝑥3 𝑦3 1 Reta: Objeto geométrico que possui infinitos pontos em apenas uma dimensão. Distância entre reta e reta: Entre retas paralelas escolhemos um ponto qualquer de uma reta, e calculamos a distância entre o ponto e a reta. Para retas reversas, pegamos os vetores diretores das 𝑃𝑃0 ∙𝑛 𝑛 retas 𝑟1 𝑒 𝑟2 calculamos

ESPAÇOS VETORIAIS 2 Espaços Vetoriais 3 Espaços Vetoriais • Exemplos: 1. Dado o conjunto v ϵ R2, {v=(x,y) e x, y ϵ R}, verifique se v é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um escalar assim definido: • (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2,y1+y2) • α(x,y) = (αx,αy) 2. Dado o conjunto v ϵ R2, {v=(a,b), a,b ϵ R}, verifique se v é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um escalar assim definido: • (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) • K(a,b) =…

9), G = (1,10). Represente no plano cartesiano o polígono ABCDEFG Determine o perímetro dessa figura Considere os pontos A = (2t+1,3t+2) , B = (4t-3,2t-3). Determine t para que o segmento AB meça 23. Considere o triângulo ABC em que A = (1,2,3), B = (9,5,3) e C = (6,8,3). Faça o que se pede: Determine as medidas de cada um dos lados do triângulo ABC. Classifique o triângulo ABC quanto aos lados. Represente esse triângulo no espaço O triângulo ABC é…

3 Vetores em Coordenadas 47 2.1 Sistemas de Coordenadas 48 2.1.1 Operacoes Vetoriais em Coordenadas ¸˜ 53 2.2 Bases Ortonormais e Coordenadas Cartesianas 59 ˆ 2.3 Produto Escalar: Angulo entre dois Vetores 62 2.3.1 Projecao Ortogonal ¸˜ 66 2.4 Produto Vetorial: Vetor Perpendicular a dois Vetores Dados 2.5 Escolha do Sistema de Coordenadas 76 2.6 O Problema do Lugar Geom´ trico e 79 Retas e Planos 85 3.1 Equacoes da Reta ¸˜ 85 3.1.1 Equacoes da reta no plano ¸˜ 90 3.2 Equacoes do…

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES - Antonio Carlos da Cunha Migliano e Carlos Schwab 1. VETORES 1.1 Definições. O estudo de vetores será fundamentado no conjunto de todos os pontos do espaço tridimensional ou Euclidiano, que será indicado por R 3. Os pontos de R serão denotados por letras latinas maiúsculas(A,B,C,...), as retas, por letras latinas minúsculas(a, b, c, ...), os planos, por letras gregas minúsculas (α , β , γ,...) e números reais, ou escalares por letras minúsculas…

Rotações no Espaço Poderíamos imaginar que qualquer rotação no espaço pode ser especificada por três ângulos compondo as três rotações em torno dos eixos cartesianos. Seguir por este caminho requer alguns cuidados. Primeiramente, as rotações não comutam, ou seja, o efeito de duas rotações seguidas depende da ordem em que elas são aplicadas. Considere por exemplo a coruja da Fig. 6.22. Suponha que desejemos aplicar sobre ela um vetor de rotação (90o , 0,- 90o). Ou seja, rodaríamos de 90o…