Rotação no espaço

Rotações no Espaço
Poderíamos imaginar que qualquer rotação no espaço pode ser especificada por três ângulos compondo as três rotações em torno dos eixos cartesianos. Seguir por este caminho requer alguns cuidados. Primeiramente, as rotações não comutam, ou seja, o efeito de duas rotações seguidas depende da ordem em que elas são aplicadas. Considere por exemplo a coruja da Fig. 6.22. Suponha que desejemos aplicar sobre ela um vetor de rotação (90o , 0,- 90o). Ou seja, rodaríamos de 90o em torno do eixo x e de -90o em torno do eixo z. Observe que a posição final seria completamente diferente se aplicamos a rotação na ordem xz ou na ordem zx.
Alguém poderia argumentar que bastaria definirmos uma ordem para as rotações para eliminarmos as ambigüidades. Por exemplo, rodaríamos sempre em torno do eixo x, depois em torno do eixo y e, finalmente, em z. Assim, por exemplo, a coruja de cara para baixoseria representada pelo vetor rotação (90o, 90o, 0). Para visualizar este vetor, considere como passar da coruja deitada de lado após a rotação de 90o em x mostrada na Fig. 6.22 para a posição final desejada (veja a linha tracejada).

Esta forma de representar as rotações, chamada ângulos de Euler, é historicamente a parametrização mais popular de rotações no espaço. Na literatura da Aeronáutica, por exemplo, estas rotações têm até nomes próprios como roll, pitch e yaw. O ângulo de rolagem (roll) é a manobra em que o avião roda em torno de seu eixo longitudinal. O ângulo de ataque (pitch) é a inclinação para baixo ou para cima e yaw é a rotação do avião em torno de um eixo vertical.
Em termos matriciais, uma rotação especificada pelos ângulos de Euler resulta numa matriz que é a multiplicação das matrizes dadas nas equações (6.26). Ou seja, para uma rotação definida por (qx, qy,qz), a matriz é dada por: Onde sx e cx são o seno e o co-seno de qx e sy cy são o seno e o co-seno de qy, respectivamente.
A parametrização de rotações no espaço por ângulos de Euler,