Aula 02 Espa Os Vetoriais

ESPAÇOS VETORIAIS

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Espaços Vetoriais

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Espaços Vetoriais
• Exemplos:

1. Dado o conjunto v ϵ R2, {v=(x,y) e x, y ϵ R}, verifique se v é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um escalar assim definido:
• (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2,y1+y2)
• α(x,y) = (αx,αy)
2. Dado o conjunto v ϵ R2, {v=(a,b), a,b ϵ R}, verifique se v é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um escalar assim definido:
• (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
• K(a,b) = (Ka, b)

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3. Dado o conjunto v ϵ R2, {v=(x,y) e x, y ϵ R}, verifique se

v é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um escalar assim definido:
•. (x1, y1) + (x2, y2)=(x1+x2,y1)
•. α(x1,y1)=(αx1,0)
4. Dado o conjunto com as operações de adição e multiplicação por um escalar nele definidas. verificar se é um espaço vetorial, se por acaso não for, citar os axiomas que não se verificam.
•. {(x, 2x, 3x); x ϵ R}

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Subespaços Vetoriais

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Exemplos:
Dados os subconjuntos S, verificar se são subespaço vetorial de V relativo as operações de adição e multiplicação por um escalar usuais:
Exemplo 1 : V = R2 S = {(x,y) ϵ R / y = 2x} u= (x1, 2x1) v = (x2, 2x2)

Exemplo 2 : V = R2

S = {(x,y) ϵ R / y = 4 - 2x}

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• Exemplo 3 : V = R2
• u= (x1, x21) v = (x2, x22)

S = {(x, x2), x ϵ R}

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• Exemplo 6: V = R2, onde W = {(x,x2); x R}.
• Se escolhermos u = (1,1) e v = (2,4), temos:
• u + v = (3,5) W.
• Assim, W não é subespaço vetorial de V.

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Exemplo 4 : V = R2 S = {(x,y), x = 0} u = (0, y1) e v = (0, y2)

Exemplo 5 : V = R3 S = {(x,y,z), x = 4y e z = 0} u = (4 y1, y1, 0 )

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Exemplo 6: V = R4 S = {(x, y, z, 0), x, y e z ϵ R} u = (x1, y1, z1, 0)

v = (x2, y2, z2, 0)

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u = (0, x2, x3, x4, x5)

v = (0, y2, y3, y4, y5)

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Exemplo 6 : V = M2x2 = {
S={

, a, b ϵ R}