Algebra

Cap´ ıtulo 3
Base e Dimens˜o a 3.1

Dependˆncia Linear e Seja V um espa¸o vetorial sobre K. c Defini¸˜o: Um conjunto finito de vetores L = {u1 , u2 , ... , ur } ⊂ V ´ linearmente ca e independente (LI) se, e somente se, a unica maneira de termos a igualdade
´
α1 u1 + α1 u2 + ... + αr ur = 0, αi ∈ K,
´ tomando α1 = α2 = ... = αr = 0. e Defini¸˜o: Um conjunto finito de vetores L = {u1 , u2 , ... , ur } ⊂ V ´ linearmente ca e dependente (LD) se, e somente se, ele n˜o for LI; ou seja, ´ poss´ uma igualdade do tipo a e ıvel α1 u1 + α1 u2 + ... + αr ur = 0, αi ∈ K, para escalares α1 , α2 , ... , αr n˜o todos nulos. a Defini¸˜o: Um conjunto infinito de vetores L = {u1 , u2 , ... , ur , . . .} ⊂ V ´ ca e linearmente independente (LI) se, e somente se, todo subconjunto finito de L ´ LI. e linearmente dependente (LD) se, e somente se, L cont´m um subconjunto finito LD. e Conven¸˜o: ∅ ⊆ V ´ LI. ca e
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Algebra Linear - Notas de Aula

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Exemplos:
1. S = ∅ ´ LI, por conven¸˜o. e ca

2. O conjunto S = {i, j, k} ⊂ V3 ´ LI. e 3.

• S1 = {1} ⊂ R ´ LI. e • S2 = {(1, 0), (0, 1)} ⊂ R2 ´ LI. e e
• S3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ⊂ R3 ´ LI.
• De um modo geral, o conjunto de n elementos Sn = {(1, 0, ... , 0), (0, 1, ... , 0), ... ,
(0, 0, ... , 1)} ⊂ Rn ´ LI. e 4.

.

• Em (C, +, )C o subconjunto S = {1} ⊂ C ´ LI. e .

Note que: Em (C, +, )C , uma combina¸˜o linear de S = {1} ´ do tipo (a + bi) . ca e escalar 1. vetor .

• Em (C2 , +, )C o subconjunto S = {(1, 0), (0, 1)} ⊂ C2 ´ LI. e .

• De um modo geral, no espa¸o vetorial complexo (Cn , +, )C o subconjunto de n c elementos S = {(1, 0, ... , 0), (0, 1, ... , 0), (0, 0, ... , 1)} ⊂ Cn ´ LI. e 5.

.

• Em (C, +, )R o subconjunto de dois elementos S = {1, i} ⊂ C ´ LI. e .

Note que: Em (C, +, )R , uma combina¸˜o linear dos vetorres de S = {1, i} ´ do tipo ca e
a.1 + b . i , para a, b ∈ R. escalar vetor

escalar