VETORES EM R2 E R3

VETORES E R3 “Ultra-Fast” Prof.: Oscar Pimentel Obs.: A maioria das figuras deste texto foram copiadas do livro virtual “álgebra vetorial e geometria analítica”, 9ª edição, do professor Jacir Venturi, e aqui foram usadas puramente com fins didáticos e não-comerciais. Para maiores informações e download gratuito do livro, www.geometriaanalitica.com.br 1 – O ESPAÇO R3 A geometria analítica no R3 tem por finalidade estudar o espaço tridimensional, tomando por base uma trinca de eixos coordenados x, y, z (também chamados de, respectivamente, eixo das abscissas, das ordenadas e das cotas). Ao estudar geometria analítica no R2 (plano), a convenção usual adotada para desenhar o par de eixos era usar retas perpendiculares tal que o eixo x ficasse com direção horizontal e sentido positivo para a direita e o eixo y ficasse com direção vertical e sentido positivo para cima, formando quatro quadrantes. Na verdade, pode-se atribuir sentido positivo para os eixos x e y de um par de retas perpendiculares de qualquer maneira que se desejar, desde que o par de eixos forme um SISTEMA DIRETO. Um sistema direto no R2 é tal que, ao se usar a “regra da mão direita”, o “arraste dos dedos” vai do sentido positivo do eixo x para o sentido positivo do eixo y. Da mesma forma, no R3, pode-se atribuir os sentidos dos eixos de qualquer forma, desde que seja obedecida a condição do sistema direto. Para o caso do R3, a regra da mão…

Vetores no espaço tridimensional Existe uma estreita relação entre vetores no espaço R2 e no espaço R³. Na verdade, o conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre realizado da mesma forma, o que diferencia são as aplicações mais ricas que existem em R³. Definição: Um vetor (geométrico) no espaço R³ é uma classe de objetos matemáticos (segmentos de reta) que tem a mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade. Esta classe de equivalência de objetos com as mesmas…

VETORES E R3 “Ultra-Fast” Prof.: Fábio Rodrigues fabio.miranda@engenharia.ufjf.br Obs.: A maioria das figuras deste texto foram copiadas do livro virtual “álgebra vetorial e geometria analítica”, 9ª edição, do professor Jacir Venturi, e aqui foram usadas puramente com fins didáticos e não-comerciais. Para maiores informações e download gratuito do livro, www.geometriaanalitica.com.br 1 – O ESPAÇO R3 A geometria analítica no R3 tem por finalidade estudar o espaço…

VETORES E R3 “Ultra-Fast” Prof.: Fábio Rodrigues fabio.miranda@engenharia.ufjf.br Obs.: A maioria das figuras deste texto foram copiadas do livro virtual “álgebra vetorial e geometria analítica”, 9ª edição, do professor Jacir Venturi, e aqui foram usadas puramente com fins didáticos e não-comerciais. Para maiores informações e download gratuito do livro, www.geometriaanalitica.com.br 1 – O ESPAÇO R3 A geometria analítica no R3 tem por finalidade estudar o espaço…

Multiplicação de um vetor por um nº real. Propriedade do produto de um vetor por um escalar. Adição de dois vetores. Propriedades da adição de vetores. Subtração de dois vetores. Unidade I – Espaços vetoriais. 1.11.21.31.41.51.61.7- Definição. Subespaços vetoriais. Combinação linear. Subespaço Gerado. Dependência e independência linear. Base de um espaço vetorial. Dimensão de um espaço vetorial. Unidade II – Transformações lineares. 2.12.22.32.42.52.6- Definição. …

um espaço vetorial é a obtenção de “novos vetores” a partir de um conjunto pré fixado de vetores desse espaço. Por exemplo, ao fixarmos em R3 o vetor u = (2, – 1, 3), podemos obter a partir de u qualquer vetor v do tipo v = a.u, onde a  R. Assim, o vetor w = (– 4, 2, – 6) é obtido de u quando a = – 2. Na verdade, qualquer vetor da reta que contém u é “criado” por u, ou, equivalentemente, podemos dizer que u “gera” a reta que o contém. Revisando e, ao mesmo tempo, ilustrando um pouco…

Produto interno em espaços vetoriais Estamos interessados em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e ângulos entre dois vetores. Esses conceitos permitirão uma melhor compreensão do que seja uma base ortogonal e uma base ortonormal em um EV e, principalmente, nos darão a noção de “medida” que nos leva a precisar conceitos como o de área, volume, distância, etc. Consideremos inicialmente o plano R2, munido de um referencial cartesiano ortogonal (eixos perpendiculare0 e…

que transformam vetores em vetores. Em geral, se V e W são EV, uma função ou transformação T de V para W, é uma regra que associa a todo vetor x em V um único vetor y em W que é denotado por T(x). Se x é um vetor em V, então T(x) é chamado “imagem de x” sobre a transformação T. Ex.: 1. Se T é uma transformação do R3 para R2 definida pela equação: T(x1, x2, x3) = ( x1+x2, x2+x3) T: R3  R2 Então T leva o vetor (1,1,1) no vetor (2,2) Ou seja, T(1,1,1) = (2,2) O vetor (3,2,0) no…

– FAG Vetores Vetores no Espaço Espaço vetorial Subespaço vetorial Combinação Linear Dependência e Independência Linear Base de um Espaço Vetorial Transformações Lineares Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Profª. Alessandra S. F. Misiak Cascavel – 2009 Espaço Vetorial Vetor no Plano 1 - O VETOR Considere o segmento orientado AB na figura abaixo. Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante definidos: *…

1. O vetor 5 + 3x + 2x2 ∈ P2 [x](R) é combinação linear dos vetores 1 + x + x2 e 3 + x ? 2. Verifique se os seguintes conjuntos são L.I. ou L.D. (i) S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} ⊂ R3 . (ii) S = {1 + 2x, x + x3 , x2 + x3 } ⊂ P3 [x](R). 1 0 1 1 (iii) S = , −1 2 0 1 0 −1 2 1 , , 1 8 0 5 . (iv) S = {(−1, 1, 0), (0, 1, −2), (−2, 3, 1)} ⊂ R3 . (v) S = {(1, 2, −1), (−1, 1, 0), (−3, 0, 1), (−2, −1, 1)} ⊂ R3 . (vi) S = {2x + 2, −x2 + x + 3, x2 + 2x}…