Lista de algebra linear

1. O vetor 5 + 3x + 2x2 ∈ P2 [x](R) é combinação linear dos vetores 1 + x + x2 e 3 + x ?
2. Verifique se os seguintes conjuntos são L.I. ou L.D.
(i) S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} ⊂ R3 .
(ii) S = {1 + 2x, x + x3 , x2 + x3 } ⊂ P3 [x](R).
1 0
1 1

(iii) S =

,

−1 2
0 1

0 −1
2
1

,

,

1 8
0 5

.

(iv) S = {(−1, 1, 0), (0, 1, −2), (−2, 3, 1)} ⊂ R3 .
(v) S = {(1, 2, −1), (−1, 1, 0), (−3, 0, 1), (−2, −1, 1)} ⊂ R3 .
(vi) S = {2x + 2, −x2 + x + 3, x2 + 2x} ⊂ P2 [x](R)
3. Considere S o subespaço de M2×2 (R) descrito por
S=

(i)

5 6
1 2

a − b 2a a + b −b

/a, b ∈ R .

∈ S?

(ii) Encontre um valor para k de forma que o vetor

−4 k 2 −3

pertença a S.

4. Considere os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 0) e v3 = (1, 3, −1). Se (3, −1, k) ∈
[v1 , v2 , v3 ](= espaço gerado pelos vetores v1 , v2 e v3 ). Qual o valor de k?
5. Mostre que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1) geram o espaço euclidiano R3 .
6. Verifique que o vetor (−1, −3, 2, 0) pertence ao subespaço de R4 gerado pelos vetores
(2, −1, 3, 0), (1, 0, 1, 0) e (0, 1, −1, 0).
7. Mostre que

1 0
0 0

,

0 1
0 0

,

0 0
1 0

,

0 0
0 1

é base de M2x2 (R).

8. Determine uma base para o espaço vetorial das matrizes n × n. Qual a dimensão deste espaço. 1

9. Determine uma base para Pn [x](R). Qual a dimensão deste espaço?
10. Mostre que o conjunto {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 3), (0, 0, 0, 5)} é base de R4 .
11. Mostre que os polinômios 1 − t3 , (1 − t)2 , 1 − t e 1 formam uma base para o espaço dos polinômios de grau ≤ 3 na variável t.
12. Mostre que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3), v3 = (3, 0, 2) e v4 = (2, −1, 1) geram o espaço R3 e encontre uma base dentre os vetores v1 , v2 , v3 e v4 .
13. Seja V = R3 e o conjunto B = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 1)} ⊂ R3 .
(i) Mostre que B não é base de R3 .
(ii) Determine uma base de R3 que possua dois elementos de B.
14. Sejam os