Vetores R3

u3 u=(u1, u2, u3) R u=(u1, u2, u3) 3 u1 u2 R u1 2 u=(u1, u2) u2 u=(u1, u2) José Fernando Santiago Prates 4 Álgebra Linear Transformações Lineares. Exemplos 1.2.1. Verificar 1) Verificar se F: R2  R3 tal que F(x, y) = ( x, x - y, x + y) é uma transformação Linear Solução: Devemos mostrar que: (a) F(u + v)  F(u + v) ?  u = (u1, u2) e v = (v1 , v2)  R2  F(u) + F(v) = = = = F((u1, u2) + (v1, v2)) F(u1 + v1,…

Linear Exerc´ ıcio 1. Para cada um dos subconjuntos S ⊆ V , onde V ´ o espa¸o vetorial indicado, encontrar o subespa¸o e c c gerado por S, isto ´, [S]. e . . (a) S = {(1, 0), (2, −1)} , V = R2 . . . (b) S = {(1, 1, 1), (2, 2, 0)} , V = R3 . . . (c) S = {p0 , p1 , p2 , p3 } , V = P3 (R), onde . . . . p0 (t) = 1, p1 (t) = t p2 (t) = t2 e p3 (t) = 1 + t3 , t ∈ R. {( ) ( )} 0 1 0 0 . . (d) S = , , V = M2 (R). 0 0 −1 0 Exerc´ ıcio 2. Mostrar que os conjuntos…

APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR CURSO: ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1. Compreender o conceito de vetor. 2. Utilizar o cálculo com matrizes na resolução de sistemas lineares 3. Compreender o conceito de espaços vetoriais 4. Aplicar o conceito de Transformação Linear na resolução de problemas 5. Calcular Autovalores e Autovetores CONTEÚDO PROGRAMÁTICO: Unidade I - SISTEMAS LINEARES 1.1 Matrizes e Determinantes 1.2 Discussão e Resolução de Sistemas Lineares 1

Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R3 Sistema Homogêneo Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes Exercícios Respostas 24 24 25 25 26 28 37 38 39 40 ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA Definição Subespaço Vetorial Combinação Linear Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador Vetores Linearmente Independentes e Dependentes Base e Dimensão de um Espaço Vetorial Operações com Subespaços Vetoriais Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base Ordenada…

1 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Sejam v1 , v 2 , ..., v n vetores em V e a equação vetorial a1v1  a 2 v 2  ...  a n v n  0 (1) Obviamente o vetor zero sempre pode ser escrito “trivialmente” como CL de v1 , ..., v n pois a afirmação 0.v1  0.v2  ...  0.v n  0 é sempre verdadeira para quaisquer que sejam os vetores dados. A solução a1  a 2  ...  a n  0 é chamada solução trivial de (1). A respeito desta equação o interesse está na resposta à pergunta …

1.2 SUBESPAÇOS VETORIAIS No exemplo 1 do item 1.1.3 nós mostramos que o R3, com as operações usuais, é um espaço vetorial. No exemplo 4 do mesmo item nós mostramos que W, com as mesmas operações, é também um espaço vetorial. Entretanto, podemos observar que W é um subconjunto de R3 que é ele próprio, um espaço vetorial. Na verdade, ocorre que dado um espaço vetorial V, é muitas vezes possível formar outro espaço vetorial usando um subconjunto W de V e as operações de V. Como V é um…

pequenos, 3 arranjos médios e 4 arranjos grandes. Fonte:Livro: Matemática - Autores: Benigno Barreto Filho e Claudio Xavier da Silva – Editora: FTD 2.(1.5) Considere o conjunto de vetores B = [u; v;w], onde u = (2,-1,1); v = (1, 3, 0);w = (0, 5, 7). (a) Verifique se o conjunto B gera o espaço R3. (x,y,z) = A(2,-1,1) + B(1,3,0) + C(0,5,7) (x,y,z) = (2A,-A,A) + (B,3B,0) + (0,5C,7C) 2A + B + 0 =X -A + 3B + 5C=Y A + 0 + 7C = Z Fazendo o determinante da matriz temos…

várias variáveis. Não pretendemos fazer um estudo detalhado de vetores ou de Geometria Analítica, mas recomendamos aos leitores, consultar a bibliografia como complemento necessário deste capítulo. 1.2 Espaços Euclidianos O espaço euclidiano n-dimensional (n ∈ N) é o produto cartesiano de n fatores iguais a R: Rn = R × R × . . . . . . × R. 1. Se n = 1, R1 = R é a reta coordenada. 2. Se n = 2, R2 é o plano ccordenado. 3. Se n = 3, R3 é o espaço coordenado tridimensional. 1.3 O Espaço…

contnuas e um espaco vetorial real, munido das operac~oes usuais de func~oes. Subespacos 8. Quais dos subconjuntos abaixo s~ao subespacos de R3? (a) W = f(x; y; z) 2 R3= x = 0g (b) W = f(x; y; z) 2 R3= x 2 Zg (c) W = f(x; y; z) 2 R3= x + 4y 􀀀 7z = 0g (d) W = f(x; y; z) 2 R3= x 􀀀 z = 1g (e) W = f(x; y; z) 2 R3= x2 = zg (f) W = f(x; y; z) 2 R3= x  yg 9. Mostrar que s~ao subespacos de Mn(R) os seguintes subconjuntos: (a) U = fA 2Mn(R)=At = Ag, ou seja, o conjunto das…

R2 que levam todo vetor nas suas proje¸co˜es nos eixos x e y, respectivamente, ou seja: Px (x, y) = (x, 0) Py (x, y) = (0, y) b) Reflex˜ao em rela¸c˜ao aos eixos x e y: Rx , Ry : R2 → R2 tal que Rx (x, y) = (x, −y) e Ry (x, y) = (−x, y). c) Proje¸c˜ao ortogonal de todo vetor no plano numa reta que passa pela origem r : (x, y) = t(a, b): Pr : R2 → R2 dada por: < (a, b), (x, y) > .(a, b) |(a, b)|2 a2 x + aby abx + b2 y = , 2 a2 + b 2 a + b2 Pr (x, y) = Pr d) Reflex˜ao de todo vetor…