Vetores R3

1. Vetores e Escalares ................................................................................................................. 4 ............................................................................................. ......................................................................................... ................................................................................. ....................................................... 4 5 6 7 7 8 9 1.1 Vetores 1.2

transforma¸oes abaixo s˜o lineares: c˜ a (a) T : R3 → R; T (x, y, z) = x + 5y − z (b) T : R3 → R; T (x, y, z) = x2 + 5y − z, (c) T : Mn×1 (R) → Mn×1 (R); T (X) = AX + X, X ∈ Mn×1 (R) e A ∈ Mn (R). (d) T : Pn → Pn ; T (p) = p + p ; p ∈ Pn . (e) T : P2 → P2 ; T (p) = p + q; p ∈ P2 e q(t) = t2 + 1; t ∈ R. 3. Determinar bases para o n´cleo e para a imagem das transformac˜es lineares u o abaixo. (a) T : R3 → R3 ; T (x, y, z) = (x + y, 2x + y, 3x + y), (x, y, z) ∈ R3 . (b) T : R2 → R; T…

∈ W, ∀u, v ∈ W, ∀a, b ∈ R. 11. Verifique se os seguintes vetores de R3 s˜o LD ou LI: a a) (1, 1, −1), (2, 1, 0) e (−1, 1, 2) b) (1, 2, 0), (3, 1, 2) e (2, −1, 2) 12. Obtenha um conjunto de geradores do subespa¸o U , de V , em cada c caso: a) V = R2 ; U = {(x, y ) ∈ R2 ; x = 3y } b) V = R3 ; U = {(x, y, z ) ∈ R3 ; x = 3y } c) V = R4 ; U = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x = 3y e z − t = 0} 13. Determine o subespa¸o de R3 gerado pelos vetores v1 = (1, −1, 1), c v2 = (2, −3, 1) e v3 = (0, 1, 1).

combinação linear e espaço gerado) Transformações Lineares 1).Verifique quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços do R3 . Justifique. a) b) c) d) e) 2) Verifique quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços do M2(R). Justifique a) b) 3) Verifique quais dos seguintes vetores são combinações lineares de u = ( 0, 2, 2 ) e v = (1, 3, 1 ) a) ( 2, 2, 2 ); b) ( 0, 4, 5 ); …

Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 iii Os objetos que serão considerados aqui são de duas natureza: Escalar: (os números, que constituirão os corpos numéricos) Vetorial: 1.1 (os vetores, que constituirão os espaços vetoriais) Corpos Numéricos Por corpo numérico, ou simplesmente corpo, entendemos um conjunto F de números (reais ou complexos), o qual goza das seguintes propriedades: 1. os números 0 e 1 estão F;…

Vetoriais 3.1. Introdução 3.2. Propriedades 3.3. Conceitos 3.4. Subespaços vetoriais 3.5. Combinações lineares 3.6. Dependência e Independência Lineares 3.7. Exercícios 2 IV – Base e Dimensão 4.1. Base de um espaço vetorial 4.1.1. Vetores LI-Maximal 4.2. Dimensão de um espaço vetorial 4.2.1. Processo Prático para obter uma base de um subespaço do Rn 4.3. Mudança de base 4.4. Questões UNIDADE I: MATRIZES 3 I. MATRIZES 1. Definição; 2. Matrizes Especiais;…

superfície regular orientável, parametrizada por Φ : D ⊂ R2 −→ R3 tal que ∂D é uma curva fechada simples, diferenciável por partes. Suponhamos que S é orientada com o campo de vetores normais unitários n. O bordo da superfície S é denotado e definido por ∂S = Φ(∂D). Se γ é uma parametrização da curva ∂D, então o bordo de S é parametrizado por ∂S = Φ(γ(I)). Seja t o campo de vetores tangentes unitários à curva ∂S e b o campo de vetores unitários em ∂S perpendiculares a ∂S e tangentes a S,…

Espaço . . . 1.5 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Norma Euclidiana de um Vetor . . . . . . . . . . . . . 1.7 Ângulos Diretores e Co-senos Diretores . . . . . . . . 1.7.1 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Distância em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPÍTULO Os vetores são usados na navegação e no estudo de forças e do movimento. Vetores em dimensões maiores ocorrem em campos tão diversos como a Genética, a Economia, a Cristalografia e a Ecologia. Os vetores também são utilizados na Teoria da Relatividade para ajudar a descrever a natureza da gravidade, do espaço e da matéria. 1 Vetores Seção 1.1 Vetores e Matrizes na Engenharia e na Matemática; Espaço n-Dimensional As duas espécies de quantidades com as…

que pode ser visualizado como um plano e R3 ´ o conjunto de triplas de n´meros u e u reais, comumente visualizado como o espa¸o. Como vimos anteriormente uma tripla (x1 , x2 , x3 ) pode ser c visualizada geometricamente tanto como representando as coordenadas de um ponto ou as coordenadas de um vetor com ponto inicial na origem. Do mesmo modo, n-uplas (x1 , ..., xn ) podem ser visualizadas como pontos ou vetores. Segue portanto que dois vetores V = (v1 , ..., vn ) e W = (w1 , ..., wn )