Teorema De Stokes

Capítulo 9

TEOREMAS DE STOKES E GAUSS
9.1 Teorema de Stokes
Seja S uma superfície regular orientável, parametrizada por Φ : D ⊂ R2 −→ R3 tal que ∂D é uma curva fechada simples, diferenciável por partes. Suponhamos que S é orientada com o campo de vetores normais unitários n.
O bordo da superfície S é denotado e definido por ∂S = Φ(∂D). Se γ é uma parametrização da curva ∂D, então o bordo de S é parametrizado por ∂S = Φ(γ(I)).
Seja t o campo de vetores tangentes unitários à curva ∂S e b o campo de vetores unitários em
∂S perpendiculares a ∂S e tangentes a S, (apontando no sentido de S; veja o próximo desenho).

Definição 9.1. A curva ∂S é orientada positivamente se n = t × b.

bordo

n

bordo

D
Φ

t

b

bordo

bordo

bordo

Figura 9.1:
203

CAPÍTULO 9. TEOREMAS DE STOKES E GAUSS

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C1

C2
S

n

C3

Figura 9.2:
Exemplo 9.1.
[1] Seja S o parabolóide parametrizado por Φ(x, y) = (x, y, x2 + y 2 ), (x, y) ∈ D onde D é o disco unitário; ∂D = {(x, y) / x2 + y 2 = 1}, logo:
∂S = Φ(∂D) = {(x, y, 1) / x2 + y 2 = 1}.
O campo normal é Tx × Ty = (−2 x, −2 y, 1), o qual induz a orientação de S; parametrizamos
∂D por: γ(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈ [0, 2 π] e Φ(γ(t)) = (cos(t), sen(t), 1).
Logo, ∂S é percorrido no sentido positivo em relação à normal de S.

1

-1

1

-1

Figura 9.3: Exemplo [1].
[2] Seja a porção de cilindro definida por S = {(x, y, z) / x2 + y 2 = 1, 0 < z < 1}. A fronteira
∂S é formada por duas curvas disjuntas:
Γ1 = {(x, y, z) / x2 + y 2 = 1, z = 0} e

Γ2 = {(x, y, z) / x2 + y 2 = 1, z = 1};

se escolhermos como vetor normal qualquer vetor proporcional a (cos(θ), sen(θ), 0), Γ1 é percorrida no sentido positivo e Γ2 em sentido negativo.

9.1. TEOREMA DE STOKES

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Figura 9.4: Exemplo [2].
Teorema 9.1. (Stokes) Seja S uma superfície regular orientada de classe C 1 tal que ∂S = C é uma curva fechada simples de classe C 1 por partes orientada positivamente. Se F um campo de vetores de classe C 1 , definido num aberto U tal que S ⊂ U , então:

F.

rot(F ) dS