Vetores R3

V = R2, onde W = {(x,x2); x ∈ R}. • Se escolhermos u = (1,1) e v = (2,4), temos: • u + v = (3,5) ∉ W. • Assim, W não é subespaço vetorial de V. 11 Espaços Vetoriais Exemplo 4 : V = R2 S = {(x,y), x = 0} u = (0, y1) e v = (0, y2) Exemplo 5 : V = R3 S = {(x,y,z), x = 4y e z = 0} u = (4 y1, y1, 0 ) 12 Espaços Vetoriais Exemplo 6: V = R4 S = {(x, y, z, 0), x, y e z ϵ R} u = (x1, y1, z1, 0) v = (x2, y2, z2, 0) 13 Espaços Vetoriais u = (0, x2, x3, x4, x5) v = (0, y2, y3, y4, y5)…

0 j) O conjunto dos vetores (x, y, z) em R3 tais que z = 0 k) Oconjuntodosvetores(x,y,z)emR3 taisquex=0ouy=0 l) O conjunto dos vetores (x, y, z) em R3 que s ̃ao mu ́ltiplos de (1, 2, 3) m) O conjunto dos vetores em R3 que s ̃ao combinac ̧ ̃oes dos vetores u e v n) O conjunto das matrizes 2 × 2 cujo tra ̧co ́e zero o) O conjunto das matrizes 2 × 2 cujo determinante ́e zero p) O conjunto das matrizes 2 × 2 que s ̃ao sim ́etricas,i.e, A = At q) O conjunto dos vetores (x, y, z) que satisfaz

Determinar o valor de k para que o vetor u = (-1, k, -7) seja combinação linear de v1 e v2, onde v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1). (ii) Escrever v = (-4, -18, 7) como combinação linear dos vetores v1 e v2. (6) Verificar se S = {(x, 4 – 2x); x  R} é subespaço de R2. Investigar as duas condições necessárias. (7) Verificar se S = {(x, y, z)  R3/ ax + by + cz = 0} é subespaço de V = R3. (8) Os vetores i = (1, 0, 0) e j = (0, 1, 0) geram o subespaço de R3? Em caso afirmativo,…

vetoriais. Transformaes lineares. Autovalores e autovetores. OBJETIVO(S) GERAL (IS) Adquirir e aplicar os conhecimentos de lgebra linear na resoluo de problemas e situaes concretas em Engenharia. OBJETIVOS ESPECFICOS 1. Compreender o conceito de vetor. 2. Utilizar o clculo com matrizes na resoluo de sistemas lineares 3. Compreender o conceito de espaos vetoriais 4. Aplicar o conceito de Transformao Linear na resoluo de problemas 5. Calcular Autovalores e Autovetores CONTEDO PROGRAMTICO…

. . .,un e w, vetores do n chama-se combinação linear. Em outras palavras, sejam V um espaço vetorial real ( ou complexo), v1, v2,...,vn  V e a1,...,an, números  (ou complexos). Então o vetor é um elemento de V, e dizemos que “v” é uma combinação linear de v1,...,vn. W = [ v1,...,vn] é chamado subespaço quando por v1,...,vn. Por exemplo, os vetores e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) geram o espaço vetorial R3, pois qualquer vetor (a, b, c)  R3 pode…

linear. e c˜ Obs: Em vez de trabalharmos com o espa¸o vetorial Pn (R), de dimens˜o n + 1, poder´ c a ıamos subtitu´ ı-lo pelo espa¸o C ∞ (R), de dimens˜o infinita, e o racioc´ c a ınio seria an´logo. a 1 2. Seja u = (x, y, z, t) um vetor gen´rico do R4 . Quais das aplica¸oes abaixo definidas s˜o aplica¸oes lineares e c˜ a c˜ do R4 ? (a) F (u) = u + (1, 0, 1, 0); (b) F (u) = (1, 0, 1, 1); (c) F (u) = (x, y − z, y + z, x + t); (d) F (u) = (cosx, y, z, t).…

x2 que resolvam a equação vetorial x1 2 −2 6 + x2 = . 1 2 0 2 , 1 4. Usando os resultados do exercício 3., desenhe no plano R2 os vetores x1 −2 6 6 e . (Dica: verique visualmente que o vetor é diagonal do 2 0 0 paralelogramo partindo do zero, cujos lados são os outros dois vetores) x2 5. Sejam u = 3 1 h ev= . Para quais valores de h e k o vetor pertence −1 3 k ao Span{u, v}? 6. Escreva a equação vetorial do exercício 3. na forma matricial Ax = b (sem resolver, só escrever).

b3 c 3 1 = −2 a1 b 1 c 1 a2 b 2 c 2 . a3 b 3 c 3 5) Considere os vetores e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). a) Determine e1 × e2 , e2 × e3 , e3 × e1 , e2 × e1 ; b) Os vetores e1 × (e1 × e2 ) e (e1 × e1 ) × e2 s˜ao iguais? 6) Calcule as ´areas dos paralelogramos gerados pelos seguintes vetores: a) u = (2, 1, 3), v = (−1, 2, −1); b) u = (3, −2, 0), v = (−1, 0, 0); c) c) u = (1, 2, 1), v = (3, 1, −1). 7) Dados vetores u, v e w (n˜ao coplanares) mostre que u × (v × w) = αv +…

. . . . .   . . . . an1 an2 . . . 1.3 amn Tipos de Matrizes Vamos recordar os principais tipos de matrizes. ´ Matriz Nula: E aquela em que todos seus elementos s˜o nulos. a Isto ´, aij = 0, ∀ i, ∀ j. e Matriz Linha ou Vetor Linha: Esta matriz possui apenas uma linha, m = 1. Portanto, A = [aij ]1×n Matriz Coluna: Matriz com apenas uma coluna, A = [aij ]m×1 . ´ Matriz Quadrada: E uma matriz que possui o mesmo n´mero de linhas e u colunas. Uma matriz…

a de v´rios modos, por exemplo, integra¸˜o dupla e tripla. Uma outra generaliza¸˜o ´ a que a ca ca e passamos a descrever. Integral de Linha de uma fun¸˜o escalar ca Sejam f : R3 → R uma fun¸˜o real continua e C uma curva em R3 , definida pela fun¸˜o de ca ca classe C 1 tais que σ : [a, b] −→ R3 t −→ (x(t), y(t), z(t)). Defini¸˜o 1. A integral de f ao longo de C ´ denotada e definida por ca e b f= C f (σ(t)) σ ′ (t) dt. f (x, y, z)ds = C a 1 Observa¸˜o