operadores lineares

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC
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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS - DCET
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ALGEBRA LINEAR
ASSUNTO: TRANSFORMACOES LINEARES
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EXERC´
ICIOS RESOLVIDOS

1. Verifique se s˜o operadores lineares no espa¸o Pn (R): a c
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(a) F: Pn (R) −→ Pn (R) tal que F (f (t)) = tf (t), ∀f (t) ∈ Pn (R).
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(b) F: Pn (R) −→ Pn (R) tal que F (f (t)) = f (t) + t2 f (t), ∀f (t) ∈ Pn (R).

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CONCLUSOES
Vamos verificar se valem as condi¸oes para que uma fun¸ao, cujo dom´ c˜ c˜ ınio e contra-dom´ ınio s˜o espa¸os a c vetoriais sobre o mesmo corpo de escalares, seja uma transforma¸ao linear. c˜ ′

(a) F: Pn (R) −→ Pn (R) tal que F (f (t)) = tf (t), ∀f (t) ∈ Pn (R).
Considere g, h ∈ Pn (R) e k ∈ R constante, observemos que: F (g(t) + kh(t)) = F ((g + kh)(t)) =
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t(g + kh) (t) = tg (t) + t(kh) (t) = tg (t) + tk(h) (t) = F (g(t)) + kF (h(t)). Logo, podemos concluir que F definida acima ´ uma transforma¸ao linear. e c˜

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(b) F: Pn (R) −→ Pn (R) tal que F (f (t)) = f (t) + t2 f (t), ∀f (t) ∈ Pn (R).
Considere g, h ∈ Pn (R) e k ∈ R, constante, observemos que: F (g(t) + kh(t)) = F ((g + kh)(t)) =
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t(g + kh) (t) = (g + kh) (t) + t2 (g + kh) (t) = g (t) + (kh) (t) + t2 g (t) + t2 (kh) (t) = g (t) + k(h) (t) +
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t2 g (t) + t2 k(h) (t) = g (t) + t2 g (t) + k(h) (t) + t2 k(h) (t) = F (g(t)) + kF (h(t)). Logo, podemos concluir que F definida acima ´ uma transforma¸ao linear. e c˜

Obs: Em vez de trabalharmos com o espa¸o vetorial Pn (R), de dimens˜o n + 1, poder´ c a ıamos subtitu´ ı-lo pelo espa¸o C ∞ (R), de dimens˜o infinita, e o racioc´ c a ınio seria an´logo. a 1

2. Seja u = (x, y, z, t) um vetor gen´rico do R4 . Quais das aplica¸oes abaixo definidas s˜o aplica¸oes lineares e c˜ a c˜ do R4 ?
(a) F (u) = u + (1, 0, 1, 0);
(b) F (u) = (1, 0, 1, 1);
(c) F (u) = (x, y − z, y + z, x + t);
(d)