Espaços euclidianos

Espa¸os Euclidianos c Espa¸os Rn c O conjunto Rn ´ definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de n´meros reais: e u
Rn = {(x1 , ..., xn ) : x1 , ..., xn ∈ R}.
R1 ´ simplesmente o conjunto R dos n´meros reais, que ´ visualizada como uma reta; R2 ´ o conjunto de e u e e pares de n´meros reais, que pode ser visualizado como um plano e R3 ´ o conjunto de triplas de n´meros u e u reais, comumente visualizado como o espa¸o. Como vimos anteriormente uma tripla (x1 , x2 , x3 ) pode ser c visualizada geometricamente tanto como representando as coordenadas de um ponto ou as coordenadas de um vetor com ponto inicial na origem. Do mesmo modo, n-uplas (x1 , ..., xn ) podem ser visualizadas como pontos ou vetores.
Segue portanto que dois vetores V = (v1 , ..., vn ) e W = (w1 , ..., wn ) s˜o iguais se e somente se v1 = a w1 , ..., vn = wn .
Apesar da nossa intui¸˜o geom´trica ser limitada para espa¸os de dimens˜o 4 em diante, procedemos por ca e c a analogia definindo opera¸˜es e conceitos similares aos que vimos no plano e no espa¸o. co c
Defini¸˜o. A soma de dois vetores V = (v1 , ..., vn ) e W = (w1 , ..., wn ) de Rn ´ definida por ca e
V + W = (v1 + w1 , ..., vn + wn ).
A multiplica¸˜o de um vetor V = (v1 , ..., vn ) de Rn por um escalar α ∈ R ´ definida por ca e αV = (αv1 , ..., αvn ).
Definimos 0 = (0, ..., 0), −V = (−v1 , ..., −vn ) e V − W = V + (−W ).
Proposi¸˜o. Sejam U, V e W vetores de Rn e α, β ∈ R escalares. Ent˜o ca a
1. U + V = V + U ;
2. U + (V + W ) = (U + V ) + W ;
3. U + 0 = 0 + U ;
4. U + (−U ) = 0;
5. α(βU ) = (αβ)U ;
6. α(U + V ) = αU + αV ;
7. (α + β)U = αU + βU ;
8. 1U = U .
Os espa¸os Rn s˜o exemplos t´ c a ıpicos do que chamamos espa¸os vetoriais. Um espa¸o vetorial ´ qualquer c c e conjunto V onde podemos definir opera¸˜es de soma e multiplica¸˜o por escalar que satisfazem todas as co ca propriedades acima.
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Exemplo 0. O conjunto das fun¸˜es reais ´ um espa¸o vetorial, pois