espaços euclidianos

Espa¸ cos Euclidianos
Espa¸
cos Rn
O conjunto Rn ´e definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de n´ umeros reais:
Rn = {(x1 , ..., xn ) : x1 , ..., xn ∈ R}.
R1 ´e simplesmente o conjunto R dos n´ umeros reais, que ´e visualizada como uma reta; R2 ´e o conjunto de pares de n´ umeros reais, que pode ser visualizado como um plano e R3 ´e o conjunto de triplas de n´ umeros reais, comumente visualizado como o espa¸co. Como vimos anteriormente uma tripla (x1 , x2 , x3 ) pode ser visualizada geometricamente tanto como representando as coordenadas de um ponto ou as coordenadas de um vetor com ponto inicial na origem. Do mesmo modo, n-uplas (x1 , ..., xn ) podem ser visualizadas como pontos ou vetores.
Segue portanto que dois vetores V = (v1 , ..., vn ) e W = (w1 , ..., wn ) s˜ao iguais se e somente se v1 = w1 , ..., vn = wn .
Apesar da nossa intui¸c˜ ao geom´etrica ser limitada para espa¸cos de dimens˜ao 4 em diante, procedemos por analogia definindo opera¸c˜ oes e conceitos similares aos que vimos no plano e no espa¸co.
Defini¸
c˜ ao. A soma de dois vetores V = (v1 , ..., vn ) e W = (w1 , ..., wn ) de Rn ´e definida por
V + W = (v1 + w1 , ..., vn + wn ).
A multiplica¸ c˜ ao de um vetor V = (v1 , ..., vn ) de Rn por um escalar α ∈ R ´e definida por αV = (αv1 , ..., αvn ).
Definimos 0 = (0, ..., 0), −V = (−v1 , ..., −vn ) e V − W = V + (−W ).
Proposi¸
c˜ ao. Sejam U, V e W vetores de Rn e α, β ∈ R escalares. Ent˜ao
1. U + V = V + U ;
2. U + (V + W ) = (U + V ) + W ;
3. U + 0 = 0 + U ;
4. U + (−U ) = 0;
5. α(βU ) = (αβ)U ;
6. α(U + V ) = αU + αV ;
7. (α + β)U = αU + βU ;
8. 1U = U .
Os espa¸cos Rn s˜ ao exemplos t´ıpicos do que chamamos espa¸cos vetoriais. Um espa¸ co vetorial ´e qualquer conjunto V onde podemos definir opera¸c˜ oes de soma e multiplica¸c˜ao por escalar que satisfazem todas as propriedades acima.
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Exemplo 0. O conjunto das fun¸c˜ oes reais ´e um espa¸co vetorial, pois podemos definir a soma