Vetores no espa o R3

Vetores no espaço tridimensional
Existe uma estreita relação entre vetores no espaço R2 e no espaço R³. Na verdade, o conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre realizado da mesma forma, o que diferencia são as aplicações mais ricas que existem em R³.

Definição: Um vetor (geométrico) no espaço R³ é uma classe de objetos matemáticos (segmentos de reta) que tem a mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade. Esta classe de equivalência de objetos com as mesmas características é representada por um segmento de reta desta família (representante).
O representante escolhido, quase sempre é o vetor v cuja origem é (0,0,0) e extremidade é o terno ordenado (a,b,c) do espaço R³, razão pela qual denotamos este vetor por: v=(a,b,c).

Se a origem do vetor não é a origem (0,0,0) do sistema R³, realizamos a diferença entre a extremidade e a origem do vetor. Por exemplo, se um vetor v tem origem em (1,2,3) e extremidade em (7,12,15), ele é dado por v=(6,10,12), pois:

v = (7,12,15) - (1,2,3) = (6,10,12)
Existe uma definição mais ampla do conceito de vetor (não necessariamente geométrica) que envolve uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc.

Soma de vetores
Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a soma de v e w, por:

v + w = (v1+w1, v2+w2, v3+w3)

Propriedades da soma de vetores

Fecho: Para quaisquer u e v de R³, a soma u+v está em R³.
Comutativa: Para todos os vetores u e v de R³: v+w=w+v.
Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R³: u+(v+w)=(u+v)+w.
Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0,0) em R³ tal que para todo vetor u de R³, se tem: Ø+u=u.
Elemento oposto: Para cada vetor v de R³, existe um vetor -v em R³ tal que: v+(-v)=Ø.

Aplicações geométricas
Ponto Médio de um segmento: Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as extremidades dos vetores v1=(x1,y1,z1) e v2=(x2,y2,z2), o ponto médio deste segmento é dado por m=(x,y,z) onde:

x = (x1+x2)/2;