Equaçoes Diferenciaveis

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E APLICAÇÕES Ana Maria S. Luz (anamluz@uol.com.br - bolsista PIBIC/CNPQ) e Prof. Dr. Francisco Júlio Sobreira de Araújo Corrêa (fjulio@ufpa.br - orientador), Departamento de Matemática, CCEN UFPA Resumo. Daremos inicialmente uma breve introdução sobre a teoria das equações diferenciais. Apresentaremos algumas noções preliminares ao estudo da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias. Faremos um estudo das equações diferenciais…

inversa é derivável em e Outra maneira de formular este resultado é: se está na imagem de e se for derivável em com derivada não nula, então Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o…

forem contínuas em algum disco aberto, então [pic] nesse disco. Note que no exercício anterior, letra a, é válido o teorema. Teorema: Se as derivadas parciais[pic] e [pic] existem perto do ponto (a, b) e são contínuas em (a, b), então f é diferenciável em (a, b). DIFERENCIAIS Para uma função de uma única variável definimos o diferencial [pic] como uma variável independente; ou seja, [pic] pode ser qualquer número real. O diferencial de y é definido como: [pic]. …

derivada de uma soma ou a diferença de duas funções é simplesmente a soma ou a diferença de suas derivadas. As regras para a derivada de um produto ou de um quociente de duas funções não são tão simples. A derivada do produto de duas funções diferenciáveis é igual ao produto da primeira função pela derivada da segunda, mais o produto da segunda função pela derivada da primeira. Demonstração: Algumas demonstrações matemáticas, como a Regra da Soma, são imediatas. Outras envolvem sutilezas que

divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo: R(x)=cx+d Da eq.3 vem: P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d Fazendo: x=a => P(a) = c(a)+d (eq. 4) x=b => P(b) = c(b)+d (eq. 5) Das equações 1, 2, 4 e 5 temos: Resolvendo o sistema obtemos: Observações: 1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos: P(a)= r1 =0 P(b)= r2 =0 Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), pois: 2ª)…

depende do ponto x considerado, o da reta secante depende de x e de x. f) Definição: O coeficiente angular da reta tangente à urna curva, por um ponto dado, chamase declividade ou inclinação dessa curva, nesse ponto. EXEMPLO Determinar as equações das retas tangentes à curva y = x2 – 2x, pelos pontos: a) xo = 3 e b) x1 = 1 Inicialmente, determinemos uma expressão genérica (fórmula) para calcular mt (x), isto é, o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto x. Para…

pelo ponto (1,0). b) O gráfico nunca toca o eixo y e ocupa pontos dos quadrantes II e III. c) Quando a > 1, a função logarítmica é crescente (x1 > x2 loga x1 > loga x2). d) Quando 0 < a x2 loga x1 < loga x2). 4. EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Para resolver equações logarítmicas, devemos aplicar as propriedades e, em seguida, verificar se os valores obtidos para a incógnita estão de acordo com as condições de existência estabelecidas. Exemplo: Resolver a…

equação (6.1) pode ser escrita da seguinte forma: RMa = CMa ou | (6.3) | VPFMa = Px | (6.4) | RMa = CMa = 0 ou Em que VPFMa = valor do produto físico marginal. Admitindo-se que a segunda derivada da função de lucro seja menor que zero, as equações (6.3) e (6.4) determinam que o lucro será máximo quando o retorno obtido ao produzir uma unidade a mais do produto for igual ao custo para produzir essa unidade a mais. O quadro abaixo ilustra a maximização de lucro da empresa florestal…

f 0 (z0 ) = lim z →z0 f (z ) − f (z0 ) z − z0 (caso exista). Se f tem derivada em z0 (i.e., se este limite existe) então f diz-se diferenciável em z0 . Escrevendo ∆z = z − z0 , a definição é equivalente à expressão f (z0 + ∆z ) − f (z0 ) ∆z →0 ∆z f 0 (z0 ) = lim Exemplo 6 Seja f (z ) = 2x + 3yi de domínio C. Vejamos que f não é diferenciável em nenhum ponto z0 = x0 + iy0 . Calculemos o limite respectivo, considerando ∆z = ∆x + i∆y , onde ∆x = x − x0 e ∆y = y − y0 :…

aplicação afim. Ax, y= fa, b+∂f∂xa, bx-a+∂f∂ya, by -b, No caso de f ser diferenciável em (a, b), é aquela que, entre todas as aplicações afins, dá as melhores aproximações aos valores da função f, em alguma vizinhança do ponto (a,b). Mas, como sabemos, equações do tipo z = c+ mx +n y definem planos em R³. Isso nos motiva a estabelecer o seguinte. Seja f :A ∁ R2→R uma função definida no subconjunto aberto A de R², diferenciavel no ponto (a, b). Dizemos que o plano definido pela…