derivada

DERIVADA
RETA TANGENTE A UMA CURVA

Sabemos que a equação do feixe de retas que passa ponto Po(xo,yo) é y – yo = m(x – xo).
Neste item, vamos procurar resolver o problema de determinar o valor do coeficiente angular m, que nos dá a reta t que passa por Po e é tangente à curva y = f(x).

Na figura observamos que:
a) y = f(x) é a equação da curva,
b) P(x, y) é um ponto fixo e Q(x + x, y + y) é um ponto próximo de P e variável,


c) PQ é reta secante à curva,
d) o coeficiente angular da reta s secante à curva é:
ΔPRQ  m s  tg   

RQ Δy

PR Δx

ou

f(x  x) - f(x)
x

e) fazendo-se o ponto Q aproximar-se de P, a reta secante s aproximar-se-á da posição da reta tangente t, coincidindo com ela, quando Q estiver suficientemente próximo de P. Nessas condições, definimos: o coeficiente angular mt da reta tangente t é o limite do coeficiente angular mt da reta secante, quando Q  P ou x  0, o que exprimimos por:

Δy
Δx  0 Δx

m t (x)  lim m s (x, Δx)  lim
QP

ou

lim

Δ 0

f(x  Δx)  f(x)
Δx

Note-se que o coeficiente angular da reta tangente depende do ponto x considerado, o da reta secante depende de x e de x.
f) Definição:
O coeficiente angular da reta tangente à urna curva, por um ponto dado, chamase declividade ou inclinação dessa curva, nesse ponto.

EXEMPLO
Determinar as equações das retas tangentes à curva y = x2 – 2x, pelos pontos:
a) xo = 3 e
b) x1 = 1
Inicialmente, determinemos uma expressão genérica (fórmula) para calcular mt (x), isto é, o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto x.
Para isso, vamos introduzir aqui, um processo chamado “regra dos quatro passos”. Consideremos a função nos pontos vizinhos: x 1º passo

2º passo

subtrai-se membro a membro 3º passo


+ x

4º passo

lim toma-se: Δx  0

x + x 



f(x) = y = x2 – 2 x

f(x + x) = y + y = (x + x)2 – 2 (x + x) =
= x2 + 2 x x + (x)2 – 2 x – 2 x