projeto decontroladores no espaço de estados

10. Projeto de Controladores no Espaço de Estado

Técnicas de análise e projeto de sistemas de controle tais como lugar das raízes e os diagramas de Bode, necessitam da função de transferência do sistema. Esta técnicas são limitadas porque as função de transferência existem somente para sistemas lineares.
De modo geral, as técnicas baseadas na função de transferência são utilizadas para analisar sistemas lineares invariantes de uma entrada e uma saída.
Uma desvantagem das técnicas citadas acima é que elas não fornecem nenhuma informação sobre o estado interno do sistema. São procedimentos de ensaio e erro difíceis de aplicar aos sistemas complexos e não conduz ao projeto de sistemas de comportamento ótimo.
As limitações supracitadas levaram ao desenvolvimento de análise e projeto de sistemas de controle no espaço de estado, o qual é uma técnica do domínio do tempo.

10.1 Formas canônicas das equações de estado
10.1.1 Forma canônica controlável.
Considere a função de transferência na forma:
Y (s) s+3 = 3
2
U ( s ) s + 9s + 24s + 20

(10.1)

onde y(t) é a saída e u(t) é a entrada. Observe que aparecem derivadas da entrada na equação diferencial que corresponde a função de transferência.. Neste caso, coloque
Y ( s) Y ( s) Z ( s)
=
U ( s) Z ( s) U ( s)

onde

Z ( s)
Y (s)
1
= 3 e = s + 3.
2
U ( s ) s + 9 s + 24 s + 20 Z ( s )

Assim,

d 3z dt 3

+9

d 2z dt 2

+ 24

dz
+ 20 z = u (t ) dt (10.2)

Escolhe como as variáveis de estado,
&
& x1 = z ; x 2 = x1 ; x3 = x 2 .
&
&
Ou seja, x1 = z ; x 2 = z ; x3 = && e x3 = &z& .Substituindo em (10.2), temos z &
&
x3 + 9 x3 + 24 x 2 + 20 x1 = u

& x1 = x 2
&
x2 = x 3

⎫
⎪
⎬
&
x3 = −20x1 − 24x 2 − 9x 3 + u ⎪
⎭
Da equação

(10.3)

Y (s)
= s + 3 , temos que
Z ( s) y (t ) =

dz
+ 3 z = x 2 + 3 x1 dt Por fim, as equações de estado são,

&
1
0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
⎡ x1 ⎤ ⎡ 0
⎢x ⎥ = ⎢ 0
&
0
1 ⎥ ⎢ x2 ⎥ + u ⎢0⎥ ,
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ 2⎥ ⎢
⎢ x3