Derivadas direcionais

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Derivadas Direcionais

A derivada direcional é uma derivada parcial especial calculada na direção de um vetor unitário u. A função da derivada direcional é medir a taxa instantânea de crescimento ou decrescimento de uma função num ponto (y,x).0 segundo a direção de um vetor u unitário.
A derivada direcional é representada pela derivada parcial uz∂.

Por exemplo.

Uma superfície cilíndrica com o eixo na horizontal e coincidindo com um dos eixos cartesianos. A derivada na direção do eixo é constante e nula. Pois é a derivada de uma reta paralela ao eixo do cilindro, que está na horizontal.
Oblíqua ao eixo, é a derivada de uma elipse. A elipse é formada ao se "cortar" o cilindro com um ângulo diferente de zero e 90º com o eixo. Se bem que com 90º a curva é uma circunferência, que é o caso especial de elipse. A derivada não é de uma elipse em um plano paralelo ao formado por dois eixos e sim de uma elipse no espaço xyz.
Perpendicular ao eixo (90º) é a derivada de uma circunferência. Neste caso, esta sim é a derivada de uma circunferência exclusivamente paralela a um dos planos cartesianos xy (z = Cte), xz (y = Cte), ou yz (x = Cte).

Gradiente

No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção de maior alteração no valor de uma quantidade por unidade de espaço. Possui diversas aplicações, desde o cálculo de derivadas direcionais à maximização das mesmas.
Por exemplo, o gradiente do potencial eléctrico é o campo eléctrico. O gradiente da energia de campo é a força de campo.
O gradiente pode ser usado para determinar a direção de máximo crescimento ou decrescimento de um fluxo em um campo escalar, pois nos mostra a alteração no valor de uma quantidade por unidade de tempo.

Exemplo :
Se f é uma função de R^n em R cujas derivadas parciais existam em um ponto (x_1,....x_n), então o gradiente neste ponto, o vetor (∂f/∂x_1,...∂f/∂x_n) é um vetor em R^n. Assim, é um vetor no plano se for uma